Bilinearform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo zusammen,
beschäftige mich derzeit mit obiger Aufgabe.
Doch bei machen Teilaufgaben weiß ich leider noch nicht bescheid, bei anderen schon, möchte diese jedoch noch durch euch absichern  .
Also:
zu 1)
Glaub ich brauch man nicht viel sagen, einfach nur axiome nachprüfen. nicht wahr?
zu 2.)
weiß: es gilt für die Einträge der Matrix: [mm] a_{i,j}=b(b_i,b_j) \forall 1\le [/mm] i,j [mm] \le [/mm] n
und weiß aus 1) b ist symmetrisch [mm] \gdw A_{b}^\IB [/mm] ist symetrisch.
Und dann doch einfach nur einsetzten und die erechneten Werte in die Matrix eintragen. stimmts, oder gehts anders/einfacher??
zu 3)
Ja hier bin ich ehrlich gesagt ein wenig überfragt. Weiß: b ist positiv definit wenn [mm] \forall v\in [/mm] V : b(v,v)>0.
Oder: bi ist positiv definit [mm] \gdw [/mm] Die Darstellungsmatrix A von b bzgl. der Basis [mm] \IB [/mm] positiv definit ist.
Hier gilt wieder: A symmetrisch ist positiv definit [mm] \gdw [/mm] alle Hauptminoren von A sind positiv(nur das ist doch hier schlecht anzuwenden, da ja meine MAtrix A durch das r nicht irgendwie beschränkt ist, sprich ich kann ja in der Darstellungsmatrix in 2.) nicht alle Einträge ausrechnen).
Desweiteren gilt noch:
[mm] A_b [/mm] positiv definit [mm] \gdw \exists [/mm] eine Orthonormalbasis [mm] \IB' [/mm] mit [mm] A_{b}^\IB' [/mm] =Einheitsmatrix
Diese vorgehensweise erscheint mir vielleicht am geeignetsten, da ja in der Aufgabenstelllung ja auch nach der Signatur gefragt ist. Aber die ist doch sowieso dann (r,0), oder? denn wenn die matrix positiv definit ist, dann hat sie in diagonalgestalt keine negativen Einträge und keine =0.
Also welche ist hier die geschickteste Vorgehensweise??
Wie ihr seht, die Bedingungen kenne ich, leider weiß ich hier noch nicht richtig wie ich sie zu nutzen habe  .
zu 4)
Hier weiß ich leider überhaupt nicht, wich ich das zeigen soll.
WEiß: b ist nicht ausgeartet wenn für das Radikal/orthogonales Komplement gilt [mm] V^\perp [/mm] =0.
Oder [mm] V^\perp [/mm] ist der Lösungsraum des homogenen Gleichungssystems [mm] A_b [/mm] *x=0
oder: b ist nicht ausgeartet [mm] \gdw detA_b \not=0
[/mm]
das wiederum wäre ja nicht so einfach, da ich ja nicht alle Eintrage der Darstellungsmatrix aufschreiben kann. Oder gilt irgendetwas besonderes für die determinante von symmetrischen Matrizen???
Also ihr seht , auch hier weiß ich nicht so recht, wie ich es am geschicktesten anstellen sollte!!
zu 5.)
hier bin ich jetzt hingegangen und habe folgendes gemacht:
weiß: b ist symmetrische Bilinearform. Also, [mm] \IR[x] [/mm] besitzt eine Basis sodass die matrix bzgl dieser Basis Diagonaltgestalt hat.
Diese Orthogonalbasis habe ich dann Über das Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren berechnet(geht das auch anders, hatten das nämlich noch nicht in der Vorlesung). naja und aus dieser habe ich dann nur der schönheit wegen eine Orthonormalbasis gemacht, sodass A bzgl. der ONB dann die Eineihtsmatrix [mm] \in M_3(\IR) [/mm] ist.
Stimmt das so oder kann/muss ich das anders lösen??
Wäre prima wenn sich jemand das hier mal alles durchlesen und dann zu meinen Ausführungen kritisch Stellung nehmen könnte, bzw. mir Hilfestellungen gibt.
Wäre super!
Viele Grüße, der mathedepp_No.1
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo,
ich bins nochmal!
Wäre wirklich super klasse, wenn sich jemand erbarmt sich das hier mal anzuschauen und mir ggf. weiterhilft!!!
Komme hier nämlich überhaupt nicht voran!
viele liebe grüße, der mathedepp_No.1
|
|
|
| |
|
Hallo
kurzer Hinweis zu (b)
die Einträge der Gramschen Matrix [mm] A=(a_{ij}) [/mm] sind - wie du richtig sagst [mm] b(b_i,b_j)
[/mm]
Nun wie sehen die denn aus?
Du hast doch [mm] $\int\limits_0^1{x^n\cdot{}x^mdx}=\int\limits_0^1{x^{n+m}dx}=\left[\frac{1}{n+m+1}x^{n+m+1}\right]_0^1=\frac{1}{n+m+1} [/mm] $und das für [mm] $0\le n,m\le [/mm] r$
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
hallo zusammen,
schachuzipus, mit deiner Antwort, komme ich leider nicht weit...:-(
Was kann ich denn jetzt damit anfangen??
Und was sagt ihr zu meinen anderen Überlegungen??
Wäre prima, wenn ich euch meldet...
viele Grüße und einen guten Start in die neue Woche, der mathedepp_No.1
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
bei (c) stimmen die Definitionen, allerdings ist die Signatur (r+1,0), denn [mm] $dim(\Pi_r)=r+1$, [/mm] die Gramsche Matrix ist also eine [mm] $(r+1)\times(r+1)$ [/mm] Matrix.
Was die positive Definitheit angeht, einfach nachrechnen.
Sei [mm] $p\in\Pi_r, [/mm] p$ nicht das Nullpolynom
Dann ist [mm] $b(p,p)=\int\limits_0^1{p(x)\cdot{}p(x)dx}=\int\limits_0^1{\left(p(x)\right)^2dx}>0$, [/mm] denn [mm] (p(x))^2\ge 0\forall x\in\IR [/mm] mit max. 2r "Berührstellen" mit der x-Achse auf [0,1] [mm] (p^2 [/mm] ist ja ein Poynom vom Grade [mm] \le [/mm] 2r)
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
ok Danke das habe ich verstanden, und erscheint mir auch als logisch!!
Nur was ist mit den anderen Teilaufgaben?
Bräuchte dringend Feedback zu meinen Ausführungen/Überlegungen im ersten Post!!
Wäre prima, wenn ihr mir dabei helfen würdet!
Viele Grüße, der mathedepp_No.1
|
|
|
| |
|
Hallo md,
wenn ich diesen thread richtig überblicke, fehlen noch Kommentare zu (4) und (5).
Also bei (5) ist das mit dem Gram/Schmittschen Verfahren der richtige Weg, ob du noch normierst oder nicht, ist egal. Wenn du am Ende ne Diagonalmatrix bzgl. der "neuen" Basis raushast, ist doch alles gezeigt
bei der (4) würde ich mal sagen, dass mit (1) b symmetrisch auf V ist und mit (3) auch positiv definit auf V (da r dort beliebig war).
Somit ex. eine Basis B' so dass [mm] $A_{b,B'}$ [/mm] eine Diagonalmatrix ist.
Wegen der positiven Definitheit sind alle Einträge auf der Diagonülen > 0 (echt größer). Damit ist [mm] $det(A_{b,B'})\ne [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] b$ nicht ausgeartet.
So das müsste es gewesen sein, oder?
Bis dann
schachuzius
|
|
|
| |
|
> bei der (4) würde ich mal sagen, dass mit (1) b symmetrisch
> auf V ist und mit (3) auch positiv definit auf V (da r dort
> beliebig war).
>
> Somit ex. eine Basis B' so dass [mm]A_{b,B'}[/mm] eine
> Diagonalmatrix ist.
Damit bin ich nicht ganz einverstanden, denn:
Wir haben notiert:
ist b symmetrische Bilinearform, dann bigts es eine Basis [mm] \IB' [/mm] sodass die Darstellungsmatrix von b bezgl [mm] \IB [/mm] Diagonalgestalt hat, ja.
Dabei muss aber voorausgesetzt sein, dass dimV=n < [mm] \infty [/mm] ist und dass ist ja mit V= [mm] \IR[x] [/mm] nicht gegeben. Außerdem wenn b auf dem UVR [mm] \produkt_r [/mm] nicht ausgeartet ist, dann heißt das ja noch lange niht, dass b auch auf ganz V nicht ausgeartet ist.!!!
Hoffe auf feedback von irgendjemandem !!
Viele GRüße, der mathedepp_No.1
|
|
|
| |
|
Hi nochmal,
aber Polynome sind doch immer endlichen Grades, oder nicht?
Ein (reelles) Polynom ist doch definiert als [mm] $p(x)=\sum\limits_{k=0}^na_kx^k$ [/mm] für irgendein festes [mm] $n\in\IN$
[/mm]
In (a) hast du gezeigt, dass $b$ symmetrisch ist, mit (c) ist $b$ auch positiv definit.
Damit folgt doch schon die Nicht-Ausgeartetheit.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:56 Mi 18.04.2007 | | Autor: | TottiIII |
Kann jemand Aufgabenteil 5 (Bestimmen Sie eine Basis B,von ...) noch mal erklären? Vielen dank schon mal.> Hallo md,
>
> wenn ich diesen thread richtig überblicke, fehlen noch
> Kommentare zu (4) und (5).
>
> Also bei (5) ist das mit dem Gram/Schmittschen Verfahren
> der richtige Weg, ob du noch normierst oder nicht, ist
> egal. Wenn du am Ende ne Diagonalmatrix bzgl. der "neuen"
> Basis raushast, ist doch alles gezeigt
>
> bei der (4) würde ich mal sagen, dass mit (1) b symmetrisch
> auf V ist und mit (3) auch positiv definit auf V (da r dort
> beliebig war).
>
> Somit ex. eine Basis B' so dass [mm]A_{b,B'}[/mm] eine
> Diagonalmatrix ist.
>
> Wegen der positiven Definitheit sind alle Einträge auf der
> Diagonülen > 0 (echt größer). Damit ist [mm]det(A_{b,B'})\ne 0 \Rightarrow b[/mm]
> nicht ausgeartet.
>
>
> So das müsste es gewesen sein, oder?
>
>
>
> Bis dann
>
> schachuzius
|
|
|
| |
|
Hallo Totti,
in (2) hast du berechnet, wie die Gramsche Matrix bzgl. der Standardbasis [mm] $\{1,x,x^2,....,x^r\}$ [/mm] aussieht, das kannste verwenden, um die Gramsche Matrix bzgl. [mm] $B=\{1,x,x^2\}$ [/mm] von $b$ im [mm] $\Pi_2$ [/mm] zu bestimmen.
Die Basisvektoren aus B musste dann mit dem Gram/Schmidtschen Verfahren orthogonalisieren und die Einträge bzgl. der neuen Basis berechnen.
Ist nicht viel Arbeit, denn die Matrix ist ja symmetrisch, also ist nur die Hälfte zu berechnen
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:15 Mi 18.04.2007 | | Autor: | verkackt |
Hallo Leute,
Ich hab zu diesem Aufgabenteil eine Frage: wie soll man die grammsche Matrix ohne das Gram/Schmidtschen Verfahren bestimmen, denn wir das noch nicht behandelt haben?
Ich kann allerdings mit [mm] \bruch{1}{n+m+1} [/mm] auch nichts anfangen. Meint ihr ich soll damit alle Einträge bestimmen?
|
|
|
| |
|
Hallo,
die Grammatrix von $b$ bzgl. [mm] $B=\{1,x,x^2\}$ [/mm] ist doch nur eine [mm] $3\times [/mm] 3$-Matrix.
Da haste doch die 9 Einträge mit der Formel [mm] $\frac{1}{m+n+1}$ [/mm] schnell bestimmt, zumal die ja symmetrisch ist. Da brauchste nur 6 Einträge zu berechnen.
Naja und die Basisvektoren von B dann mit Gram/Schmidt orthogonalisieren, ist kein großer Akt.
Ein alternatives Verfahren kenn ich nicht, aber Gram Schmidt kannste ja bei Wikipedia nachlesen, ist kein allzu großer Aufwand.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:01 Mi 18.04.2007 | | Autor: | verkackt |
Ok, Danke.Ich versuch jetzt das [mm] Gram\schnidt [/mm] Verfahren mir bei zu bringen
Gruß V.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Mi 18.04.2007 | | Autor: | Mitch |
Hey!
Ich habe mich gerade auch mit der Teilaufgabe (2) bzw. (5) auseinander gesetzt.
Bevor ich die Diagonalmatric mit dem Gram/Schmidt Verfahren ausrechne wollte ich fragen, ob ich überhaupt die richtige Gramsche Matrix ausgerechnet habe. Wenn man das Ergbenis aus (2) [mm] \bruch{1}{n+m+1} [/mm] nimmt, dann würde ich auf folgende Matrix (r=2) kommen:
[mm] \begin{pmatrix}
\bruch{1}{3} & \bruch{1}{x+2} & \bruch{1}{x²+2} \\
\bruch{1}{x+2} & \bruch{1}{2x+1} & \bruch{1}{x²+x+1} \\
\bruch{1}{x²+2} & \bruch{1}{x²+x+1} & \bruch{1}{2x²+1}
\end{pmatrix} [/mm]
Kann mir jemand sagen, ob diese Matrix richtig ist??
Viele Grüße Mitch
|
|
|
| |
|
Hallo Mitch,
das $n,m$ bezieht sich doch auf die Exponenten der (Standard-)Basis vom [mm] $\Pi_2$, [/mm] also auf [mm] $\{1,x,x^2\}$
[/mm]
Damit haste für die Grammatrix bzgl. dieser Basis:
[mm] \begin{pmatrix} 1 & \bruch{1}{2} & \bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{3} & \bruch{1}{4} \\ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{4} & \bruch{1}{5} \end{pmatrix}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:22 Mi 18.04.2007 | | Autor: | Mitch |
*lach*.. das hatte ich bereits vorher, aber habe gedacht das wäre zu simpel!
Okay, besten Dank!!!
dann versuche ich mich jetzt mal an dem Gram/Schmidt Verfahren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Mi 18.04.2007 | | Autor: | Mitch |
Irgendwie habe ich gerade ein Brett vorm Kopf.
In der Aufgabenstellung steht, dass man die [mm] A_{b,B} [/mm] auf Diagonalgestalt bringen soll.
Muss man jetzt die Grammatrix mittels Gram/Schmidt Verfahren orthogonalieseren? Dann hat man doch noch keine Matrix in Diagonalgestalt.
Ich bitte um Hilfe!
|
|
|
| |
|
Hi nochmal,
nein, dann hast du eine OrthogonalBASIS B', bzgl. derer [mm] A_{b,B'} [/mm] Diagonalgestalt hat
Berechne mal $b(b'_{i},b'_{j})$ für die $b'_i,b'_j$ der "neuen" orthogonalen Basis
Dann siehste, dass $b(b'_i,b'_j)=0$ für [mm] $i\ne [/mm] j$ ist - muss ja auch, denn die neuen Basisvektoren sind ja paarweise orthogonal,
Also gibbet nur Einträge auf der Diagonalen.
Die musste halt berechnen.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Mi 18.04.2007 | | Autor: | Mitch |
Danke für deine Antwort. ich verstehe nur nicht wieso man dann vorher schon die Grammatrix verwenden soll. Man kann dann doch auch einfach die Basis {1,x,x²} nehmen und sie per Gram/Schmidt Verfahren orthogonalisieren. Dann hat man ja ne Orthogonalbasis B' und könnte mit davon die Grammatrix berechnen. Diese Grammatrix hat Diagonalgestalt. (ist ja auch klar, weil sie orthogonal zueinander sind)
Ist das auch eine richtige Lösung der Aufgabe oder würde ich damit etwas anderes berechnen?
ich habe es gerade mal durchgerechnet und habe dann als Orthogonalbasis [mm] B'= { 1, x- \bruch{1}{2} , - \bruch{7}{24} - \bruch{1}{12}x + x² } [/mm]
Darauf könnte ich ja b anwenden und hätte dann meine gewünschte Grammatrix mit 9 eintragen, welche Diagonalgestalt besitzt.
Right???
|
|
|
| |
|
Jo moin Mitch,
ja die Grammatrix bzgl der Ursprungsbasis brauchste für die Rechnung natürlich nicht, vllt. als Vergleich nachher
Also ich habe für die OGB raus [mm] $B'=\{1,x-\frac{1}{2},x^2-x+\frac{1}{6}\}$.
[/mm]
Das passt also bis auf den 3.Basisvektor zu deiner Lsg.
Es ist m.E. [mm] $b'_3=b_3-\frac{b(b_3,b'_{1})}{b(b'_1,b'_1)}\cdot{}b'_1-\frac{b(b_3,b'_2)}{b(b'_2,b'_2)}\cdot{}b'_2$
[/mm]
[mm] $=...=x^2-\frac{\frac{1}{3}}{1}\cdot{}1-\frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{12}}\cdot{}(x-\frac{1}{2})=x^2-x+\frac{1}{6}$
[/mm]
Das müsste eigentlich stimmen
Rechne aber lieber nochmal nach
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 Mi 18.04.2007 | | Autor: | TottiIII |
> Es ist m.E.
> [mm]b'_3=b_3-\frac{b(b_3,b'_{1})}{b(b'_1,b'_1)}\cdot{}b'_1-\frac{b(b_3,b'_2)}{b(b'_2,b'_2)}\cdot{}b'_2[/mm]
>
> [mm]=...=x^2-\frac{\frac{1}{3}}{1}\cdot{}1-\frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{12}}\cdot{}(x-\frac{1}{2})=x^2-x+\frac{1}{6}[/mm]
Jo stimmt hab ich auch raus. Formel steht bei Wikipedia. Da kann man einfach einsetzen und ausrechnen .
|
|
|
| |
|
Ich habe mal ne Frage zu Aufgabe 2 mit der Grammatrix:
Ich weiß, das sich (1, x, ... [mm] x^r) [/mm] aufleite und das integral dann ausrechne ich komme dann auf folgende Matrix:
1 1/2 1/3 .... 1/r+1
1/2 1/3 ...........
1/r+1........................was kommt hier dann hin?
LG tanzmaus
|
|
|
| |
|
Hallo Tanzmaus,
du meinst den Eintrag [mm] a_{r+1,r+1} [/mm] ? also den ganz unten rechts?
Das ist genau der Eintrag [mm] b(x^r,x^r) [/mm] , also [mm] \frac{1}{r+r+1}=\frac{1}{2r+1}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
hallo,
danke für die antwort. Hätte man auch selber drauf kommen können.
LG Tanzmaus
|
|
|
| |
|
oder frau
cu
schachuz.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Di 17.04.2007 | | Autor: | Morgaine |
Tut mir leid,aber ich stehe grade voll auf dem Schlauch...wie soll ich denn bitte bei 1. nur eben die Axiome überprüfen,bzw. wpmit ist mir nicht klar,die Axiome schon,und das ich diese überprüfen muss....aber ich kann da doch kein Integral einsetzten.......bitte um schnelle Hilfe,da ich fast verzweifel...Danke schonmal im Voraus
|
|
|
| |
|
Hallo Morgaine,
du musst halt die Linearität in beiden Argumenten und die Symmetrie überprüfen mit der Definition von b.
Also ich mach mal die Linearität im 1. Argument, der Rest geht analog:
Also seien [mm] $p_1,p_2,p,q\in\IR[x]$ [/mm] und [mm] $\lambda\in\IR$
[/mm]
Dann ist [mm] $b(p_1+p_2,q)=\int\limits_0^1{(p_1+p_2)(x)\cdot{}q(x)dx}=\int\limits_0^1{((p_1(x)+p_2(x))\cdot{}q(x)dx}=\int\limits_0^1{(p_1(x)\cdot{}q(x)+p_2(x)\cdot{}q(x))dx}=\int\limits_0^1{p_1(x)q(x)dx}+\int\limits_0^1{p_2(x)q(x)dx}=b(p_1,q)+b(p_2,q)$
[/mm]
weiter ist [mm] $b(\lambda p,q)=\int\limits_0^1{(\lambda p)(x)q(x)dx}=\int\limits_0^1{\lambda p(x)q(x)dx}=\lambda\int\limits_0^1{p(x)q(x)dx}=\lambda [/mm] b(p,q)$
Hoffe, damit kommste weiter
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 Di 17.04.2007 | | Autor: | Morgaine |
Danke,das ist mir paar Minuten vor deinem Eintrag auch bewusst geworden...lol....schlauch geplatzt auf dem ich stand....dankeschön
|
|
|
|
