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| Aufgabe | | [mm] x^4 [/mm] Ermitteln Sie die Extremstellen Versuchen Sie den Nachweis mit einer hinreichenden Bedingung entsprechend satz 2oder 3 durchzuführen Gelingt dies immer?? WElches Kriterium ist universeller?? |
Hallo Leute ich bin die ganze Zeit am überlegen was diese Fragestellung von mir möchte ich kapiere nix bestimmt könnt ihr mir weiterhelfen.
Wie läuft das ab wenn z.B verlangt wird
Ermitteln sie die Extremwerte für funktion f verwenden Sie die hinreichende Bedingung den vorzeichen wechsel der ersten Ableitung? Was muss ich hier genau machen??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
und bei der anderen Aufgabe ist das genauso die hinreichende Bedingung die zweite ableitung?
Oder Ermitteln Sie Extremstellen was ich kapier Versuchen sie den Nachweis mit einer hinreichenden Bedingung entsprechend Satz2 oder 3 zu führen gelingt dies immer?? Welches Kriterium ist universeller verstehe im allgemeinen die Fragestellung nicht ganz könntet ihr mir erklären wie ich das machen könnte?? wie ich da verfahren muss?? Vielen dank im vorraus und ich entschuldige mich für die schreckliche Grammatik bin erst seit 2 Jahren in Deutschland
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 Sa 08.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> [mm]x^4[/mm] Ermitteln Sie die Extremstellen Versuchen Sie den
> Nachweis mit einer hinreichenden Bedingung entsprechend
> satz 2oder 3 durchzuführen Gelingt dies immer?? WElches
> Kriterium ist universeller??
> Hallo Leute ich bin die ganze Zeit am überlegen was diese
> Fragestellung von mir möchte ich kapiere nix bestimmt
> könnt ihr mir weiterhelfen.
>
> Wie läuft das ab wenn z.B verlangt wird
>
> Ermitteln sie die Extremwerte für funktion f verwenden Sie
> die hinreichende Bedingung den vorzeichen wechsel der
> ersten Ableitung? Was muss ich hier genau machen??
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
> und bei der anderen Aufgabe ist das genauso die
> hinreichende Bedingung die zweite ableitung?
>
> Oder Ermitteln Sie Extremstellen was ich kapier Versuchen
> sie den Nachweis mit einer hinreichenden Bedingung
> entsprechend Satz2 oder 3 zu führen gelingt dies immer??
> Welches Kriterium ist universeller verstehe im allgemeinen
> die Fragestellung nicht ganz könntet ihr mir erklären wie
> ich das machen könnte?? wie ich da verfahren muss?? Vielen
> dank im vorraus und ich entschuldige mich für die
> schreckliche Grammatik bin erst seit 2 Jahren in
> Deutschland
Das Beispiel der Funktion [mm] $f(x)=x^4$ [/mm] ist ein gutes Beispiel um zu veranschaulichen, wie leistungsfähig verschiedene Kriterien sind, um Extremstellen zu bestimmen.
Du weißt ja sicher wie die Funktion ungefähr aussieht, sie hat in [mm] $x=0\:$ [/mm] ein Minimum. Nun willst du das zeigen.
Du kennst sicher das notwendige Kriterium für eine Extremstelle, nämlich dass die Ableitung der Funktion 0 ist. Die Ableitung ist gegeben durch $f'(x) = [mm] 4x^3$.
[/mm]
Diese setzten wir gleich 0 [mm] $\Rightarrow 4x^3=0$ [/mm] und erhalten damit [mm] $x=0\:$. [/mm] Damit ist [mm] $x=0\:$ [/mm] die einzige Stelle, in der ein Extremum vorliegen kann. Es muss dort jedoch keines liegen, das muss erst noch überprüft werden. Nun kennst du sicher, dass wenn, zusätzlich zur Nullstelle der ersten Ablteitung, die zweite Ableitung größer 0 ist, so liegt ein Maximum vor, ist die zweite Ableitung kleiner null, so liegt ein Maximum der Funktion vor. Es ist $f''(x) = [mm] 12x^2 \Rightarrow [/mm] f''(0) = 0$
D.h. wir können weder sicher sein, dass in ein Maximum oder Minimum vorliegt, weil die zweite Ableitung weder kleiner noch größer 0 ist. Das bedeutet, dass uns das Kriterium, die zweite Ableitung zu überprüfen, uns hier nicht verrät, dass tatsächlich ein Minimum vorliegt.
Dies zu zeigen schafft man jedoch, wenn man zeigt, dass die erste Ableitung an der Stelle [mm] $x=0\:$ [/mm] einen Vorzeichenwechsel hat. Das ist der Fall, denn [mm] $f'(-1)=-4\:$ [/mm] und $f'(1)=4$. Damit muss die erste Ableitung in [mm] $x=0\:$ [/mm] einen Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus haben. Damit liegt ein Minimum vor.
Das heißt, das Kriterium des Vorzeichwechsels der ersten Ableitung ist universeller (da in mehr Fällen einzetzbar) als das Kriterium mit den zweiten Ableitungen.
LG Lippel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:49 So 09.01.2011 | | Autor: | faraz1989 |
und zwar wie wird aus x=0 ich verstehe das nicht ganz wie wird die extremstelle dadurch bestimmt?> Hallo,
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> > [mm]x^4[/mm] Ermitteln Sie die Extremstellen Versuchen Sie den
> > Nachweis mit einer hinreichenden Bedingung entsprechend
> > satz 2oder 3 durchzuführen Gelingt dies immer?? WElches
> > Kriterium ist universeller??
> > Hallo Leute ich bin die ganze Zeit am überlegen was
> diese
> > Fragestellung von mir möchte ich kapiere nix bestimmt
> > könnt ihr mir weiterhelfen.
> >
> > Wie läuft das ab wenn z.B verlangt wird
> >
> > Ermitteln sie die Extremwerte für funktion f verwenden Sie
> > die hinreichende Bedingung den vorzeichen wechsel der
> > ersten Ableitung? Was muss ich hier genau machen??
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt
> > und bei der anderen Aufgabe ist das genauso die
> > hinreichende Bedingung die zweite ableitung?
> >
> > Oder Ermitteln Sie Extremstellen was ich kapier Versuchen
> > sie den Nachweis mit einer hinreichenden Bedingung
> > entsprechend Satz2 oder 3 zu führen gelingt dies immer??
> > Welches Kriterium ist universeller verstehe im allgemeinen
> > die Fragestellung nicht ganz könntet ihr mir erklären wie
> > ich das machen könnte?? wie ich da verfahren muss?? Vielen
> > dank im vorraus und ich entschuldige mich für die
> > schreckliche Grammatik bin erst seit 2 Jahren in
> > Deutschland
>
> Das Beispiel der Funktion [mm]f(x)=x^4[/mm] ist ein gutes Beispiel
> um zu veranschaulichen, wie leistungsfähig verschiedene
> Kriterien sind, um Extremstellen zu bestimmen.
>
> Du weißt ja sicher wie die Funktion ungefähr aussieht,
> sie hat in [mm]x=0\:[/mm] ein Minimum. Nun willst du das zeigen.
> Du kennst sicher das notwendige Kriterium für eine
> Extremstelle, nämlich dass die Ableitung der Funktion 0
> ist. Die Ableitung ist gegeben durch [mm]f'(x) = 4x^3[/mm].
> Diese
> setzten wir gleich 0 [mm]\Rightarrow 4x^3=0[/mm] und erhalten damit
> [mm]x=0\:[/mm]. Damit ist [mm]x=0\:[/mm] die einzige Stelle, in der ein
> Extremum vorliegen kann. Es muss dort jedoch keines liegen,
> das muss erst noch überprüft werden. Nun kennst du
> sicher, dass wenn, zusätzlich zur Nullstelle der ersten
> Ablteitung, die zweite Ableitung größer 0 ist, so liegt
> ein Maximum vor, ist die zweite Ableitung kleiner null, so
> liegt ein Maximum der Funktion vor. Es ist [mm]f''(x) = 12x^2 \Rightarrow f''(0) = 0[/mm]
>
> D.h. wir können weder sicher sein, dass in ein Maximum
> oder Minimum vorliegt, weil die zweite Ableitung weder
> kleiner noch größer 0 ist. Das bedeutet, dass uns das
> Kriterium, die zweite Ableitung zu überprüfen, uns hier
> nicht verrät, dass tatsächlich ein Minimum vorliegt.
>
> Dies zu zeigen schafft man jedoch, wenn man zeigt, dass die
> erste Ableitung an der Stelle [mm]x=0\:[/mm] einen Vorzeichenwechsel
> hat. Das ist der Fall, denn [mm]f'(-1)=-4\:[/mm] und [mm]f'(1)=4[/mm]. Damit
> muss die erste Ableitung in [mm]x=0\:[/mm] einen Vorzeichenwechsel
> von Minus nach Plus haben. Damit liegt ein Minimum vor.
>
> Das heißt, das Kriterium des Vorzeichwechsels der ersten
> Ableitung ist universeller (da in mehr Fällen einzetzbar)
> als das Kriterium mit den zweiten Ableitungen.
>
> LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:54 So 09.01.2011 | | Autor: | fencheltee |
> und zwar wie wird aus x=0 ich verstehe das nicht ganz wie
> wird die extremstelle dadurch bestimmt?
vielleicht nochmal verständlich formulieren (satzzeichen könnten evtl auch helfen), denn mit dem obigen könnte alles und nichts gemeint sein
gruß tee
edit: rückfragen auch bitte als fragen posten, nicht als mitteilung
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