Cauchy-Schwarz-Ungleichung < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Mi 21.11.2007 | | Autor: | Smex |
| Aufgabe | Zeigen sie die Cauchy-Schwarz-Ungleichung im [mm] \IR^n: [/mm] Seien x,y [mm] \in \IR^n [/mm] , x = [mm] (x_1,...,x_n) [/mm] y = [mm] (y_1,...,y_n). [/mm] Dann ist [mm] \summe_{j=1}^{n} x_jy_j \le \wurzel{\summe_{j=1}^{n} x_j^2} \wurzel{\summe_{j=1}^{n} y_j^2}.
[/mm]
Hinweis: betrachten sie [mm] \summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{n} (x_iy_j [/mm] - [mm] x_jy_i)^2 [/mm] |
Also zunächst wollte ich wissen, ob mir jemand erklären kann, was für eine Summe diese Summe im Hinweis sein soll? Wie will man denn eine Summe aufsummieren?? und warum läuft die erste Summe plötzlich von i bis n?
Vielen Dank
Lg Smex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hinweis: betrachten sie [mm]\summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{n} (x_iy_j[/mm]
> - [mm]x_jy_i)^2[/mm]
> Also zunächst wollte ich wissen, ob mir jemand erklären
> kann, was für eine Summe diese Summe im Hinweis sein soll?
> Wie will man denn eine Summe aufsummieren?? und warum läuft
> die erste Summe plötzlich von i bis n?
Das ist eine Doppelsumme. Schau doch mal was unter den Summenzeichen steht! [mm] $x_i y_{j}$ [/mm] usw. haengt sowohl von $i$ als auch von $j$ ab. Das heisst du summierst ueber alle Indizes. Das Problem ist aber jetzt nicht der Hinweis, sondern die Richtigkeit der Hoelder oder auch Cauchy-Schwartz Ungleichung. Ich verstehe jetzt den Hinweis auch nicht so ganz. Muesste mal ein bisschen ueberlegen.... Ich meine aber, dass es da einen anderen Weg gibt. Und zwar nimmt man erst einmal an, dass [mm] $\parallel x\parallel =1=\parallel y\parallel$ [/mm] und beweist die Ungleichung
[mm] \[\sum x_iy_i\leq [/mm] 1 [mm] \forall [/mm] x, y [mm] \in \IR^n, \parallel x\parallel =\parallel y\parallel [/mm] =1
Die Funktion [mm] $F(x,y):=\sum^n x_i y_i$ [/mm] ist stetig auf [mm] $\IR^{n\times n}$ [/mm] und insbesondere stetig auf [mm] $S^{n-1}\times S^{n-1}$. [/mm] Das heisst, es gibt ein Minimum und ein Maximum. Das Maximum muss $1$ sein. Wie zeigt man dass noch mal gleich?.....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Mi 21.11.2007 | | Autor: | Smex |
Das kommt aber glaube ich im 2. Teil der Aufgabe, denn da heisst es dann: Folgern Sie die Dreiecksungleichung für die euklidische Norm. Definiere: [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_2 [/mm] := [mm] \wurzel{\summe_{j=1}^{n}}x_j^2 [/mm] und [mm] d_2(x,y) [/mm] = [mm] \parallel [/mm] (x - y) [mm] \parallel_2. [/mm] Dann gilt für alle a,b,c [mm] \in \IR^n [/mm] : [mm] \parallel(a [/mm] + [mm] b)\parallel_2 \le \parallel [/mm] a [mm] \parallel_2 [/mm] + [mm] \parallel [/mm] b [mm] \parallel_2 [/mm] und [mm] d_2(a,c) \le d_2(a,b) [/mm] + [mm] d_2(b,c).
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Mi 21.11.2007 | | Autor: | kornfeld |
Das glaube ich nicht. Du kannst es so machen: zwei Vektoren oder Punkte im [mm] $\IR^n$ [/mm] liegen immer coplanar, dass heisst, es gibt eine $2$-dimensionale Ebene, in der beide Punkte liegen. Das hat folgende Konsequenz: Es reicht die CSU fuer den Fall $n=2$ zu beweisen unter Zuhilfenahme der Bedingung [mm] $x,y\in S^1$. [/mm] Das ist erheblicher einfacher, denn da kannst du mit Polarkoordinaten arbeiten:
[mm] \[x\in S^1: x=(\cos \theta, \sin \theta)
[/mm]
Der Beweis fuer CSU in [mm] $\IR^2$ [/mm] ist elementar!
Frage: wie kommt man vom [mm] $\IR^n$ [/mm] zum [mm] $\IR^2$? [/mm] So: fuer je zwei [mm] $x,y\in S^{n-1}$ [/mm] gibt es eine $2$-Ebene [mm] $E_{x,y}$ [/mm] durch den Ursprung und eine ONB [mm] $\{a_1,a_2}\subset \IR^n$ [/mm] von [mm] $E_{x,y}$, [/mm] so dass fuer jedes [mm] $z\in S^{n-1}\cap E_{x,y}$ $z=\cos(\theta) a_1 [/mm] + [mm] \sin(\theta) a_2$. [/mm] Das Skalarprodukt verhaelt sich bei solchen Darstellungen mit ONB's sehr zarm!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Mi 21.11.2007 | | Autor: | Smex |
Ja so mach ichs.
Vielen Dank für die schnelle Hilfe!
Lg Smex
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