Cauchysche Integralformel < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie mittels der Cauchyschen Integralformel das Kurvenintegral: [mm] $\int\limits_{|z|=2}\frac{\sin(z)}{z+i}$ [/mm] |
Ist diese Lösung korrekt? Für was ist $|z|=2$ wichtig? Würde sich der Wert des Integrals ändern, wenn $|z|=k$, solange [mm] $z_0$ [/mm] innerhalb der Kreisscheibe $|z|=k$ liegt?
[mm] $f(a)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{|z|=2}\frac{\sin(z)}{z+i}\Rightarrow \int\limits_{|z|=2}\frac{\sin(z)}{z+i}=2\pi [/mm] i [mm] \sin(i)=2\pi i\frac{e^{ii}-e^{-ii}}{2i}=\pi\left(e^{-1}-e^{1}\right)=\frac{\pi}{e}-e\pi$
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Berechnen Sie mittels der Cauchyschen Integralformel das
> Kurvenintegral: [mm]\int\limits_{|z|=2}\frac{\sin(z)}{z+i}[/mm]
> Ist diese Lösung korrekt? Für was ist [mm]|z|=2[/mm] wichtig?
> Würde sich der Wert des Integrals ändern, wenn [mm]|z|=k[/mm],
> solange [mm]z_0[/mm] innerhalb der Kreisscheibe [mm]|z|=k[/mm] liegt?
|z|=2 dient dazu, eine konkrete Kurve zu definieren. Aber du hast natürlich recht, mit |z|=k käme für alle k>1 das gleiche Ergebnis raus.
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> [mm]f(a)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{|z|=2}\frac{\sin(z)}{z+i}\Rightarrow \int\limits_{|z|=2}\frac{\sin(z)}{z+i}=2\pi i \sin(i)=2\pi i\frac{e^{ii}-e^{-ii}}{2i}=\pi\left(e^{-1}-e^{1}\right)=\frac{\pi}{e}-e\pi[/mm]
Hier ist noch ein Vorzeichenfehler drin: Es ist [mm] $z_0=-i$
[/mm]
Ansonsten scheint mir die Lösung ok.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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