Charaktersitik, Ableitung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 So 17.01.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Es sei K ein Körper und f [mm] \in [/mm] K[X] mit grad(f) [mm] \ge [/mm] 1. Beweisen Sie
Ist char K=p >0, so ist f'=0 genau dann wenn es ein g [mm] \in [/mm] K[X] gibt, derart dass [mm] f(X)=g(X^p) [/mm] gilt. |
Hallo
Die Richtung [mm] \Leftarrow) [/mm] hab ich hinbekommen:
[mm] f(X)=g(X^p) [/mm] mit [mm] g\in [/mm] K[X], g(X)= [mm] \sum_{k=0}^n b_k X^k
[/mm]
[mm] f'(X)=g'(X^p):= \sum_{k=0}^n [/mm] (p*k) [mm] b_k X^{pk-1} =\sum_{k=0}^n k*(p*1_K* b_k) X^{pk-1}=\sum_{k=0}^n [/mm] k*(0* [mm] b_k) X^{pk-1}=0_{K[X]}
[/mm]
Vorletze Gleichheit da p [mm] *1_K= 0_{K}.
[/mm]
Bei der Richtung [mm] \Rightarrow) [/mm] bin ich mir unsicher:
f(X):= [mm] \sum_{k=0}^n a_k X^k
[/mm]
0=f'(X):= [mm] \sum_{k=1}^n k*a_k X^{k-1}
[/mm]
Ein Koeffizientenvergleich: [mm] ka_k=0_K \forall [/mm] 1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n
Entweder ist [mm] a_k=0 [/mm] oder [mm] a_k \in K\setminus\{0\}=K^{\*} [/mm] und für den Fall ist [mm] k*1_K=0_K [/mm] wenn ich mit [mm] a_k^{-1} [/mm] multipliziere.
Ist [mm] k*1_K =0_K
[/mm]
Führe Division mit Rest k=q*p +r mit 0 [mm] \le [/mm] r <p
[mm] 0_K [/mm] = [mm] k*1_K [/mm] = (q*p [mm] +r)*1_K [/mm] = r* [mm] 1_K
[/mm]
Da r<p folgt wegen Minimaleigenschaft von Charaktersitik r=0 [mm] \Rightarrow [/mm] p|k
D.h. [mm] a_k=0 [/mm] für k kein Vielfaches von p.
f(X)= [mm] \sum_{k \ge 0} a_k X^{k*p} [/mm] mit [mm] a_k=0 [/mm] für k [mm] \ge [/mm] n
Das in der Angabe definiere g ist dann doch gleich f?
Ist das so korrekt?
LG,
sissi
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> Es sei K ein Körper und f [mm]\in[/mm] K[X] mit grad(f) [mm]\ge[/mm] 1.
> Beweisen Sie
> Ist char K=p >0, so ist f'=0 genau dann wenn es ein g [mm]\in[/mm]
> K[X] gibt, derart dass [mm]f(X)=g(X^p)[/mm] gilt.
> Hallo
>
> Die Richtung [mm]\Leftarrow)[/mm] hab ich hinbekommen:
> [mm]f(X)=g(X^p)[/mm] mit [mm]g\in[/mm] K[X], g(X)= [mm]\sum_{k=0}^n b_k X^k[/mm]
>
> [mm]f'(X)=g'(X^p):= \sum_{k=0}^n[/mm] (p*k) [mm]b_k X^{pk-1} =\sum_{k=0}^n k*(p*1_K* b_k) X^{pk-1}=\sum_{k=0}^n[/mm]
> k*(0* [mm]b_k) X^{pk-1}=0_{K[X]}[/mm]
Beachte, dass es einen Unterschied zwischen [mm] $g'(X^p$ [/mm] und [mm] $g(X^p)'$ [/mm] gibt. Du hast dich für die falsche Variante entschieden. Da anschließend das richtige kommt, hast du aber wohl an das richtige gedacht. Der Rest ist gut.
> Vorletze Gleichheit da p
> [mm]*1_K= 0_{K}.[/mm]
>
>
> Bei der Richtung [mm]\Rightarrow)[/mm] bin ich mir unsicher:
> f(X):= [mm]\sum_{k=0}^n a_k X^k[/mm]
> 0=f'(X):= [mm]\sum_{k=1}^n k*a_k X^{k-1}[/mm]
>
> Ein Koeffizientenvergleich: [mm]ka_k=0_K \forall[/mm] 1 [mm]\le[/mm] k [mm]\le[/mm] n
> Entweder ist [mm]a_k=0[/mm] oder [mm]a_k \in K\setminus\{0\}=K^{\*}[/mm] und
> für den Fall ist [mm]k*1_K=0_K[/mm] wenn ich mit [mm]a_k^{-1}[/mm]
> multipliziere.
>
> Ist [mm]k*1_K =0_K[/mm]
> Führe Division mit Rest k=q*p +r mit 0 [mm]\le[/mm]
> r <p
> [mm]0_K[/mm] = [mm]k*1_K[/mm] = (q*p [mm]+r)*1_K[/mm] = r* [mm]1_K[/mm]
> Da r<p folgt wegen Minimaleigenschaft von Charaktersitik
> r=0 [mm]\Rightarrow[/mm] p|k
Hier solltest du eigentlich keine Division mit Rest mehr machen müssen, sondern es sollte zu deinem Grundwissen über Körper bzw. allgemeiner Ringe gehören, dass in einem Ring der Charakteristik $n$ gilt: $k=0$ in $R$ gdw. [mm] $n\mid [/mm] k$.
[Beweis: Betrachte den eindeutigen Ringhomomorphismus [mm] $\varphi\colon\IZ\longrightarrow [/mm] R$, [mm] $k\longmapsto k\cdot 1_R$. [/mm] Die Charakteristik $n$ ist diejenige natürliche Zahl, welche [mm] $\ker(\varphi)=(n)$ [/mm] erfüllt.]
> D.h. [mm]a_k=0[/mm] für k kein Vielfaches von p.
> f(X)= [mm]\sum_{k \ge 0} a_k X^{k*p}[/mm] mit [mm]a_k=0[/mm] für k [mm]\ge[/mm]
Es sollte [mm] $f=\sum a_{k\cdot p}X^{k\cdot p}$ [/mm] heißen. Das gesucht $g$ ist dann [mm] $\sum a_{k\cdot p}X^k$ [/mm] und ist von $f$ verschieden.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
> Das in der Angabe definiere g ist dann doch gleich f
> Ist das so korrekt?
> LG,
> sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:13 So 17.01.2016 | | Autor: | sissile |
Danke für die Korrektur!
Vielen lieben Dank,
sissi
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