Constraint Ganzzahligkeit < Mathematica < Mathe-Software < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:44 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Skandel |
| Aufgabe | | Berechnen Sie für einen Körper (Pyramide mit Punkt (0,0,0)) die Schnittpunkte der drei Achsen unter der Bedingung, dass die vier Flächen jeweils einen ganzzahligen Flächeninhalt haben und die Summe der Flächeninhalte aller Flächen genau 18 beträgt. |
Hey Leute,
meine Frage zu oben genannter Aufgabe. Wir versuchen/müssen das mit Mathematica lösen, und dazu haben wir folgende Lösungsformel aufgestellt.
-18 + Sin[1/16 [mm] a^4 b^4 \[Pi]^4] [/mm] + Sin[1/16 [mm] a^4 c^4 \[Pi]^4] [/mm] +
Sin[1/16 [mm] b^4 c^4 \[Pi]^4] [/mm] +
Sin[1/16 [mm] (a^2 b^2 [/mm] + [mm] a^2 c^2 [/mm] + [mm] b^2 c^2)^2 \[Pi]^4]
[/mm]
In der Formel ist der Constrain [mm] Sin(x*Pi)^4 [/mm] enthalten, den uns unser Prof gesagt hat, dass wir die Ganzzahligkeitsbedingung darstellen können in Mathematica. Das leuchtet uns aber nicht ein und daher wollte ich fragen, ob es keine einfacherer Variante gäbe?
Wie können wir darstellen, dass die 4 einzelnen Flächen ganzzahlig sind. Außerdem spuckt der bei der Lösung (NMinimize [{ff, a > 0, b > 0, c > 0} , {a, b, c}]) auch nicht das richtige aus, wenn wir die ausgegebenen Punkte einsetzen kommt nicht 18 raus, was wir nicht verstehen, weil wir es ja oben mit drin haben.
Die ganze Aufgabe haben wir auf Papier gelöst (aber nur für uns) sollen wir eig nicht so machen. Aber zum. haben wir drei Punkte, undzwar
a = [mm] 2^0.5
[/mm]
b= [mm] 8^0.5
[/mm]
c = [mm] 18^0.5
[/mm]
Nun die zweite Frage: Das sind alles drei Schnittpunkte mit den Achsen, der vierte Punkt für die Pyramide ist der Koordinatenursprung.
Wie können wir nun in Mathematica diese Pyramide mit den 4 Punkten Plotten lassen (wenns geht auch farbig alle Seiten)..
Vielen Dank für eure Bemühungen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
da 2, 18 und 8 zur nullten Potenz erhoben jeweils 1 ergeben, sollen alle Seiten die Länge [mm]\frac{1}{2}[/mm] haben? Das wären doch viel zu kleine Flächen ohne ganzzahliges Maß... Und die Formel mit nicht passenden eckigen Klammerpaaren kommt mir auch seltsam vor (warum sollte eine Fläche sich aus der vierten Potenz eines Sinuswertes von wiederum vierten Potenzen von Längenmaßen sein <img src="/editor/extrafiles/images/eek2.gif" _cke_saved_src="/editor/extrafiles/images/eek2.gif" title="eek2.gif" alt="eek2.gif" _cke_realelement="true">).
Ich habe im ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") angehängten Notebook mal die Formel von Heron für die Dreiecksflächen bemüht. Falls gerade kein Mathematica zur Hand ist, ist hier ein PDF-Ausdruck dieses Notebooks.
Die Sache mit dem Sinus als Ganzzahligkeitskriterium leitet sich von der Tatsache dass [mm]\sin{\left\(\pi x\right\)} = 0 \gdw x \in \IZ[/mm] gilt, sowie dem Umstand dass Mathematica mitElement[{(a b)/2, (a c)/2, (b c)/2, 1/2 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)]}, Integers] überfordert zu sein scheint, ab.
Gruß,
Peter
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: nb) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Fr 06.01.2012 | | Autor: | Peter_Pein |
das mit dem Wirrwar war ich nicht. Das war der Editor <img src="/editor/extrafiles/images/sorry.gif" _cke_saved_src="/editor/extrafiles/images/sorry.gif" title="sorry.gif" alt="sorry.gif" _cke_realelement="true">
Der war früher mal besser. Der Link zur PDF deshalb als code: http://dl.dropbox.com/u/3030567/Mathematica/pyramide.pdf
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 Fr 06.01.2012 | | Autor: | Peter_Pein |
wenn man zunächst alle vierelementigen ganzzahligen Partitionen von 18 daher nimmt und dann versucht, ob diese 4-Tupel als Flächen der Pyramide reelle, positive Lösungen haben, ist das zwar ein irrsinniger Aufwand mit Papier& Stift, aber für den Siliziumtrottel ist es eine seiner leichtesten Übungen:
Wenn die Variable "vierFlächen" den Wert [mm]\left\{\frac{a b}{2},\frac{a c}{2},\frac{b c}{2},\frac{1}{2} \sqrt{b^2 c^2+a^2 \left(b^2+c^2\right)}\right\}[/mm] hat, liefert | 1: | DeleteCases[
| | 2: | ParallelTable[
| | 3: | Solve[{lst == vierFlächen, And @@ Thread[{a, b, c} > 0]}, {a, b,
| | 4: | c}], {lst,
| | 5: | Flatten[Permutations /@ IntegerPartitions[18, {4}], 1]}], {}] |
recht fix:| 1: | {{{a -> 3*Sqrt[2], b -> 2*Sqrt[2], c -> Sqrt[2]}},
| | 2: | {{a -> 2*Sqrt[2], b -> 3*Sqrt[2], c -> Sqrt[2]}},
| | 3: | {{a -> 3*Sqrt[2], b -> Sqrt[2], c -> 2*Sqrt[2]}},
| | 4: | {{a -> Sqrt[2], b -> 3*Sqrt[2], c -> 2*Sqrt[2]}},
| | 5: | {{a -> 2*Sqrt[2], b -> Sqrt[2], c -> 3*Sqrt[2]}},
| | 6: | {{a -> Sqrt[2], b -> 2*Sqrt[2], c -> 3*Sqrt[2]}}} |
|
|
|
|
