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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL 1.Ordnung
DGL 1.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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DGL 1.Ordnung: Korrektur,Kontrolle
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:59 Mo 19.07.2010
Autor: haxenpeter

Aufgabe
Berechnen Sie die spezielle Lösung der DGL :

[mm] y'-\bruch{1}{x-2}*y=2*(x-2)^2 [/mm] , [mm] x\not=2 [/mm] , Anfangsbedingung y(0)=2

So hab die aufgabe komplett gerechnet, bräuchte nur eine Korrektur, falls fehler sind! Danke.

Lösung Homogene:

[mm] y'-\bruch{1}{x-2}*y=0 [/mm]

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{y}* dy}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{x-2}* dx} [/mm]

[mm] y=e^{ln(x-2)+C} [/mm] ,  [mm] e^C=k [/mm]
y=k*(x-2)

Lösung Inhomogene:
yp=k(x)*(x-2)
yp'=k'(x)*(x-2)+k(x)*1

Einsetzen:
[mm] k'(x)*(x-2)+k(x)*1-\bruch{1}{x-2}*k(x)*(x-2)=2*(x-2)^2 [/mm]
[mm] k'(x)*(x-2)=2*(x-2)^2 [/mm]
k'(x)=2*(x-2)
[mm] k(x)=\integral_{}^{}{2*(x-2)dx} [/mm]
[mm] k(x)=2\integral_{}^{}{(x-2)dx} [/mm]
[mm] k(x)=2*{\bruch{1}{2}*(x-2)^2} [/mm]
[mm] k(x)=(x-2)^2 [/mm]

[mm] y_{allg.}=k*(x-2)+(x-2)^{2}*(x-2) [/mm]
[mm] y_{allg.}=k*(x-2)+(x-2)^{3} [/mm]

Anfangsbedingungen:

[mm] 2=k*(0-2)+(0-2)^3 [/mm]
2=-2k+(-8)
10=-2k
-5=k

[mm] y_{spez.}=-5*(x-2)+(x-2)^{3} [/mm]

        
Bezug
DGL 1.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:10 Mo 19.07.2010
Autor: fred97

Alles richtig gemacht !

FRED

Bezug
                
Bezug
DGL 1.Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:13 Mo 19.07.2010
Autor: haxenpeter

super..dankeschön.

Bezug
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