DGL 1.Ordnung Substitution < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für [mm] $\left| t \right| [/mm] $ < 1 betrachte die DGL
[mm] $\left( 1 - t^2 \right)x' [/mm] - tx + 1=0$.
Bestimmen Sie eine allgemeine Lösung der DGL und sodann lösen Sie das Anfangswertproblem
[mm] $\left( 1-t^2 \right) [/mm] x' - tx + 1 =0$
$x [mm] \left( 0 \right) [/mm] = 1$. |
Hallo Zusammen,
ich bin mal wieder am verzweifeln in Mathe. Ich muss wie in der Aufgabenstellung oben eine allgemeine Lösung der DGL angeben. Da es sich nach meiner Einschätzung um eine nicht-lineare DGL 1.Ordnung handelt, wäre mein erster Schritt die Trennung der Variablen gewesen. Da diese sich jedoch nicht trennen lassen, muss glaube ich substituiert werden. Daran scheitere ich im Moment. Durch Hilfe bin ich bereits soweit gekommen. Verstehe aber erstens nicht genau wie und warum man auf den Ansatz für die Substitution kommt und ob das dann überhaupt die allgemeine Lösung ist.
Hier sind meine Berechnungen:
1. Variablen trennen:
$ [mm] \left( 1-t^2 \right) [/mm] x' - tx + 1 = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x' - [mm] \bruch{t}{1-t^2} [/mm] x = - [mm] \bruch{1}{1-t^2}$
[/mm]
Substitution:
[mm] $x_{\left( t \right)} [/mm] = [mm] e^{\int_{}^{} u_\left(t\right)}$ [/mm]
mit
[mm] $u=1-t^2$
[/mm]
[mm] $\bruch{du}{dt} [/mm] = -2t [mm] \Rightarrow [/mm] dt = - [mm] \bruch{du}{2t}$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} \int_{}{} \bruch{1}{t} \* u\,du$ $\Rightarrow [/mm] - [mm] \bruch{1}{4} \* \bruch{u^2}{t}$ [/mm] mit $u = [mm] 1-t^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] - [mm] \bruch{1}{4} \* \left( \bruch{1}{t} - t^3 \right)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x_{\left(t\right)} [/mm] = [mm] e^{- \bruch{1}{4} \left( \bruch{1}{t} - t^3 \right)}$
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:26 Fr 10.01.2025 | | Autor: | Herby |
Hallo Timon
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Für [mm]\left| t \right|[/mm] < 1 betrachte die DGL
> [mm]\left( 1 - t^2 \right)x' - tx + 1=0[/mm].
> Bestimmen Sie eine
> allgemeine Lösung der DGL und sodann lösen Sie das
> Anfangswertproblem
> [mm]\left( 1-t^2 \right) x' - tx + 1 =0[/mm]
> [mm]x \left( 0 \right) = 1[/mm].
>
> Hallo Zusammen,
> ich bin mal wieder am verzweifeln in Mathe. Ich muss wie
> in der Aufgabenstellung oben eine allgemeine Lösung der
> DGL angeben. Da es sich nach meiner Einschätzung um eine
> nicht-lineare DGL 1.Ordnung handelt, wäre mein erster
> Schritt die Trennung der Variablen gewesen. Da diese sich
> jedoch nicht trennen lassen, muss glaube ich substituiert
> werden. Daran scheitere ich im Moment. Durch Hilfe bin ich
> bereits soweit gekommen. Verstehe aber erstens nicht genau
> wie und warum man auf den Ansatz für die Substitution
> kommt und ob das dann überhaupt die allgemeine Lösung
> ist.
> Hier sind meine Berechnungen:
>
> 1. Variablen trennen:
>
> [mm]\left( 1-t^2 \right) x' - tx + 1 = 0 \Rightarrow x' - \bruch{t}{1-t^2} x = - \bruch{1}{1-t^2}[/mm]
Damit hast du die Form: [mm]x'\ +\ \blue{ A(t)}x\ =\ \green{B(t)}[/mm]
mit [mm] \blue{A(t)=-\bruch{t}{1-t^2}} [/mm] und [mm] \green{B(t)=-\bruch{1}{1-t^2}}
[/mm]
>
> Substitution:
>
> [mm]x_{\left( t \right)} = e^{\int_{}^{} u_\left(t\right)}[/mm]
Hier liegt eine kleine Unstimmigkeit vor, denn es müsste so ausschauen
[mm] \red{k(t)}=e^{\int\blue{{A(t)}\ dt}}=e^{\int{\blue{-\bruch{t}{1-t^2}}\ dt}} [/mm] (Bestimmung eines Integrationsfaktors)
mit der Substitution [mm]u=1-t^2[/mm] kommst du dann weiter.
[mm] \int-\bruch{t}{1-t^2}=...=-\bruch{1}{2}ln|1-t^2|+C
[/mm]
[mm]\Rightarrow\ \red{k(t)}=...[/mm]
Wenn du den Faktor ermittelt hast, multiplizierst du damit deine Gleichung
[mm]\red{k(t)}*x'\ +\ \red{k(t)}*\blue{A(t)}x\ =\ \red{k(t)}*\green{B(t)}[/mm]
fasst zusammen und löst nach x auf. Es kommt wieder ein Integral zum Vorschein, das m.E. allerdings nur numerisch lösbar ist.
Vielleicht gibt es ja noch einen weiteren und besseren Ansatz für diese DGL, daher nur "halb beantwortet"
Viele Grüße
Herby
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Hallo,
mit dem von Herby vorgeschlagenen integrierenden Faktor wird die DGL exakt & ich habe als Lösung:
[mm] $F(x;t)=x*\sqrt{1-t^2}+arcsin(t)+C=0$
[/mm]
Hoffentlich nicht verrechnet.
LG, Martinius
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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| Aufgabe | > Für $ \left| t \right| $ < 1 betrachte die DGL
> $ \left( 1 - t^2 \right)x' - tx + 1=0 $.
> Bestimmen Sie eine
> allgemeine Lösung der DGL und sodann lösen Sie das
> Anfangswertproblem
> $ \left( 1-t^2 \right) x' - tx + 1 =0 $
> $ x \left( 0 \right) = 1 $.
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Vielen Dank für die Hilfe und Antworten.
Ich bin nun durch einen Ansatz aus unserem Mathe Skript und einer Musterlösung einer Tutorin auf folgende Lösungen gekommen.
> Hier sind meine Berechnungen:
>
> 1. Variablen trennen:
>
> $ \left( 1-t^2 \right) x' - tx + 1 = 0 \Rightarrow x' - \bruch{t}{1-t^2} x = - \bruch{1}{1-t^2} $
$ \Rightarrow x'\ -\ \blue{ A(t)}x\ =\ \green{B(t)} $
mit $ \blue{A(t)=\bruch{t}{1-t^2}} $ und $ \green{B(t)=-\bruch{1}{1-t^2}} $
>
> Substitution:
>
$ \red{\alpha_h(t)}=e^{\int\blue{{A(t)}\ dt}}=e^{\int{\blue{\bruch{t}{1-t^2}}\ dt}} $
Substitution $ u=1-t^2 $
$ \int\bruch{t}{1-t^2}=\int-\bruch{t}{u}\*\bruch{1}{2t}du=-\bruch{1}{2}ln|u|+C=-\bruch{1}{2}ln|1-t^2|+C $
da $|t|<1 \Rightarrow ln|1-t^2|=ln\left(1-t^2\right)$
$ \Rightarrow\ \red{\alpha_h(t)}=c\*e^{-\bruch{1}{2}\*ln\left(1-t^2\right) $
$\Rightarrow\alpha_h(t): (-1,1) \to \IR $ ist eine allgemeine Lösung
Ansatz für spezielle Lösung: $\alpha_{inh}(t)=e^{A_{(t)}}*\integral_{t_0}^{t}{b(t)\*e^{-A_{(t)}} dt}$
$\Rightarrow \alpha_{inh}(t)=e^{-\bruch{1}{2}ln(1-t^2)}*\integral_{t_0}^{t}{-\bruch{1}{1-t^2}\*e^{\bruch{1}{2}ln(1-t^2)} dt}=\bruch{1}{\wurzel{1-t^2}}\*\integral_{t_0}^{t}{-\bruch{1}{1-t^2}\*\wurzel{1-t^2}dt=-\bruch{arcsin(t)}{\wurzel{1-t^2}$
Allgemeine Lösung:
$\Rightarrow \alpha(t)=\bruch{c}{\wurzel{1-t^2}}-\bruch{arcsin(t)}{\wurzel{1-t^2}}=\bruch{c-arcsin(t)}{\wurzel{1-t^2}}$
Anfangswertproblem: $\alpha_{(0)}=1$
!
$\alpha_{(0)}=c=1 \Rightarrow c=1$
$\Rightarrow \alpha_{(t)}=\bruch{1-arcsin(t)}{\wurzel{1-t^2}}$ ist Lösung des AWPs
ps. Timon mag Mathe jetzt ein bisschen mehr :)
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