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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 Mi 12.09.2012 | | Autor: | sardelka |
Hallo,
folgendes Anfangswertproblem ist zu lösen:
y' = [mm] \bruch{e^{y}}{xlnx}
[/mm]
y(e) = 1
Meine Rechenschritte:
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{e^{y}}{xlnx}
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1}{e^{y}}}dy [/mm] = [mm] \integral{\bruch{1}{xlnx}}dx
[/mm]
[mm] -e^{-y} [/mm] = ln |ln x| + c
[mm] e^{-y} [/mm] = - (ln |ln x| + c)
-y = ln (- (ln |ln x| + c))
y = - ln (- (ln |ln x| + c))
y(e) = 1 = - ln (-(ln |ln e| + c)) (Äquivalenzumformung: [mm] e^{...})
[/mm]
e = ln |ln e| + c (Äquivalenzumformung: [mm] e^{...})
[/mm]
[mm] e^{e}= [/mm] 1 + c (Äquivalenzumformung: [mm] e^{...} [/mm] und -1)
[mm] e^{e}^{e} [/mm] -1 = c
Ich bezweifel sehr, dass ich für die Konstante das Richtige raus habe.
Kann bitte jemand berichtigen?
Vielen Dank im Voraus
LG
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Hallo sardelka,
> Hallo,
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> folgendes Anfangswertproblem ist zu lösen:
>
> y' = [mm]\bruch{e^{y}}{xlnx}[/mm]
>
> y(e) = 1
>
> Meine Rechenschritte:
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{e^{y}}{xlnx}[/mm]
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{e^{y}}}dy[/mm] =
> [mm]\integral{\bruch{1}{xlnx}}dx[/mm]
>
> [mm]-e^{-y}[/mm] = ln |ln x| + c
> [mm]e^{-y}[/mm] = - (ln |ln x| + c)
> -y = ln (- (ln |ln x| + c))
> y = - ln (- (ln |ln x| + c))
>
> y(e) = 1 = - ln (-(ln |ln e| + c))
Hier steht dann:
[mm]1=- ln (-(ln\left(\blue{1}\right) + c))=- ln (-c))[/mm]
> (Äquivalenzumformung: [mm]e^{...})[/mm]
> e = ln |ln e| + c
> (Äquivalenzumformung: [mm]e^{...})[/mm]
> [mm]e^{e}=[/mm] 1 + c (Äquivalenzumformung: [mm]e^{...}[/mm] und
> -1)
> [mm]e^{e}^{e}[/mm] -1 = c
>
> Ich bezweifel sehr, dass ich für die Konstante das
> Richtige raus habe.
> Kann bitte jemand berichtigen?
>
> Vielen Dank im Voraus
> LG
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Mi 12.09.2012 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend:
manchmal ist es vorteilhaft, die Konstante so früh wie möglich zu bestimmen. In Deinem Fall schon hier:
$ [mm] -e^{-y} [/mm] $ = ln |ln x| + c
Für x=e und y=1 bekommst Du sofortc=-1/e
FRED
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