DGL harmonischer Oszillator < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 So 20.05.2012 | | Autor: | Basser92 |
| Aufgabe | Betrachten Sie die allgemeine Lösung [mm] x(t)=\alpha*cos \omega_{0}t+\beta*sin \omega_{0}t [/mm] (mit Konstanten [mm] \alpha,\beta) [/mm] der Bewegungsgleichung [mm] x''+\omega_{0}^{2}x=0 [/mm] eines linearen harmonischen Oszillators.
a) Zu welcher Zeit [mm] t_{1} [/mm] erreicht der Oszillator seinen Maximalausschlag [mm] x_{max}? [/mm] Wie groß ist [mm] x_{max}? [/mm] Welchen Wert hat die Beschleunigung zur Zeit [mm] t_{1}?
[/mm]
b) Zu welcher Zeit [mm] t_{2} [/mm] erreicht der Oszillator seine Maximalgeschwindigkeit x'_{max}? Wie groß ist die Auslenkung zur Zeit [mm] t_{2}? [/mm] Welce einfache Beziehung besteht zwischen [mm] x_{max} [/mm] und x'_{max}?
c) Zu welcher Zeit [mm] t_{3} [/mm] erfährt der Oszillator die maximale Beschleunigung x''_{max}? Wie groß ist diese? Welche Werte haben Auslenkung und Geschwindigkeit zur Zeit [mm] t_{3}? [/mm] |
Den Maximalausschlag bei Teilaufgabe a) kann man ausrechnen indem man die erste Ableitung = 0 setzt. Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich mit [mm] \omega_{0} [/mm] und t umgehen soll. Ich muss nach t ableiten, aber was ist mit [mm] \omega_{0}? [/mm] Das brauch ich doch um die Werte auszurechnen, aber es ist weder gegeben, noch weiß ich, wie ich es ausrechnen kann. Die Beschleunigung in Teilaufgabe a) kann man dann über die 2. Ableitung ausrechnen.
Um bei Aufgabenteil b) die Maximalgeschwindigkeit auszurechnen setzt man die Beschleunigung (2. Ableitung) = 0. Die Auslenkung kann man dann einfach über die Zerit ausrechnen. Bei der Beziehung zwischen [mm] x_{max} [/mm] und x'_{max} bin ich mir nicht ganz sicher, aber es müsste doch x'=max wenn x=0 gelten, oder?
Aufganeteil c) funktioniert wieder genau wie die beiden Teile vornendran. Einzigster unterschied ist hier wieder der Grad der Ableitung wenn ich mich nicht irre.
|
|
| |
|
Hallo Basser92,
> Betrachten Sie die allgemeine Lösung [mm]x(t)=\alpha*cos \omega_{0}t+\beta*sin \omega_{0}t[/mm]
> (mit Konstanten [mm]\alpha,\beta)[/mm] der Bewegungsgleichung
> [mm]x''+\omega_{0}^{2}x=0[/mm] eines linearen harmonischen
> Oszillators.
> a) Zu welcher Zeit [mm]t_{1}[/mm] erreicht der Oszillator seinen
> Maximalausschlag [mm]x_{max}?[/mm] Wie groß ist [mm]x_{max}?[/mm] Welchen
> Wert hat die Beschleunigung zur Zeit [mm]t_{1}?[/mm]
> b) Zu welcher Zeit [mm]t_{2}[/mm] erreicht der Oszillator seine
> Maximalgeschwindigkeit x'_{max}? Wie groß ist die
> Auslenkung zur Zeit [mm]t_{2}?[/mm] Welce einfache Beziehung besteht
> zwischen [mm]x_{max}[/mm] und x'_{max}?
> c) Zu welcher Zeit [mm]t_{3}[/mm] erfährt der Oszillator die
> maximale Beschleunigung x''_{max}? Wie groß ist diese?
> Welche Werte haben Auslenkung und Geschwindigkeit zur Zeit
> [mm]t_{3}?[/mm]
> Den Maximalausschlag bei Teilaufgabe a) kann man
> ausrechnen indem man die erste Ableitung = 0 setzt. Jetzt
> weiß ich aber nicht, wie ich mit [mm]\omega_{0}[/mm] und t umgehen
> soll. Ich muss nach t ableiten, aber was ist mit
> [mm]\omega_{0}?[/mm] Das brauch ich doch um die Werte auszurechnen,
> aber es ist weder gegeben, noch weiß ich, wie ich es
Da [mm]\omega_{0}[/mm] nicht bekannt ist,
sind die Werte in Abhängigkeit von [mm]\omega_{0}[/mm] anzugeben.
> ausrechnen kann. Die Beschleunigung in Teilaufgabe a) kann
> man dann über die 2. Ableitung ausrechnen.
> Um bei Aufgabenteil b) die Maximalgeschwindigkeit
> auszurechnen setzt man die Beschleunigung (2. Ableitung) =
> 0. Die Auslenkung kann man dann einfach über die Zerit
> ausrechnen. Bei der Beziehung zwischen [mm]x_{max}[/mm] und x'_{max}
> bin ich mir nicht ganz sicher, aber es müsste doch x'=max
> wenn x=0 gelten, oder?
Richtig ist, x' nimmt ein Extremum an, wenn x=0.
> Aufganeteil c) funktioniert wieder genau wie die beiden
> Teile vornendran. Einzigster unterschied ist hier wieder
> der Grad der Ableitung wenn ich mich nicht irre
Ja, da irrst Du nicht.
Gruss
MathePower.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 So 20.05.2012 | | Autor: | Basser92 |
Wie sehen dann meine Ergebnisse aus? Ich kann ja schlecht den Sinus bzw Cosinus für unbekannte Werte ausrechnen.
|
|
|
| |
|
Hallo Basser92,
> Wie sehen dann meine Ergebnisse aus? Ich kann ja schlecht
> den Sinus bzw Cosinus für unbekannte Werte ausrechnen.
Das kannst Du ebenfalls nur in Abhängigkeit von [mm]\omega_{0}[/mm] angeben.
Das gilt insbesondere für den Sinus und Cosinus.
Wenn Du das geschickt anfängst,
dann brauchst Du keine Sinus- und Cosinus-Werte ausrechen.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 So 20.05.2012 | | Autor: | Basser92 |
Ich komm immer noch nicht drauf, wie ich das rechnen muss... ich muss ja irgendwie das t aus dem Sinus und dem Cosinus rausziehen, um die Gleichung nach t auflösen zu können, aber ich komm net drauf wie...
|
|
|
| |
|
Hallo Basser92,
> Ich komm immer noch nicht drauf, wie ich das rechnen
> muss... ich muss ja irgendwie das t aus dem Sinus und dem
> Cosinus rausziehen, um die Gleichung nach t auflösen zu
> können, aber ich komm net drauf wie...
Schreibe zunächst x(t) um:
[mm]x\left(t\right)= \alpha\cdot{}cos \omega_{0}t+\beta\cdot{}sin \omega_{0}t =A*\sin\left(\omega_{0}*t+\varphi\right)[/mm]
A und [mm]\varphi[/mm] ergeben sich, wenn
Du den zweiten Ausdruck mit dem 3. Ausdruck vergleichst.
Dann ist die Bestimmung der Extrema nicht mehr schwer.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Mo 21.05.2012 | | Autor: | Basser92 |
Welcher zweiter und dritter Ausdruck? Ich steh grad echt aufm Schlauch...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 Mo 21.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Welcher zweiter und dritter Ausdruck? Ich steh grad echt
> aufm Schlauch...
Berechne
$ [mm] A\cdot{}\sin\left(\omega_{0}\cdot{}t+\varphi\right) [/mm] $
mit dem Additionstheorem und vergleiche dann die Koeffizienten mit
[mm] $\alpha\cdot{}cos \omega_{0}t+\beta\cdot{}sin \omega_{0}t [/mm] $
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Mo 21.05.2012 | | Autor: | Basser92 |
Ich versteh es leider immer noch nicht... irgendwie komm ich mir grad ziemlich blöd vor...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Mo 21.05.2012 | | Autor: | Calli |
> ich mir grad ziemlich blöd vor...
... dem ist schwer zu widersprechen. 
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
