DIagonalisierung vom Matrizen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Di 01.11.2011 | | Autor: | mike1988 |
| Aufgabe | Man diagonalisiere folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1\\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 3 } [/mm] |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
Hallo!
Aufgabenstellung siehe oben! Ist eigentlich soweit klar, ich möchte nur wissen, wie ich beurteilen kann, ob eine Matrix überhaupt diagonalisierbar ist oder nicht??
Prinzipiell bin ich wie folgt vorgegangen:
1)Charakteristisches Polynom über [mm] det(A-\lambda*I) [/mm] gebildet:
[mm] -\lambda^3+6*\lambda^2-11*\lambda+6 [/mm] = 0
2) Eigenwerte der Matrix berechnet:
[mm] \lambda1 [/mm] = 1, [mm] \lambda [/mm] = 2, [mm] \lambda [/mm] = 3
3) Eigenvektor zu [mm] \lambda1:
[/mm]
v = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\0}
[/mm]
4) Eigenvektor zu [mm] \lambda2:
[/mm]
v = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\0}
[/mm]
5) Eigenvektor zu [mm] \lambda3:
[/mm]
v = [mm] \vektor{7 \\ 6 \\2}
[/mm]
6) Bilden der Matrix T aus den einzelnen Eigenvektoren:
T = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0 \\ 7 & 6 & 2 }
[/mm]
7) Diagonalmatrix bilden:
Nun sollte ja die Diagonalmatrix D mittels der Formel D = [mm] T^T*A*T [/mm] berechnet werden können! Wenn ich diesen Schritt durchführe, bekomme ich nur leider als Ergebniss definitiv keine Diagonalmatrix, sondern folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 4 & 21\\ 2 & 10 & 60 \\ 7 & 40 & 267 }
[/mm]
Nun zu meinen Fragen:
- Ist die Rechnung wie o. angeführt soweit richtig??
- Habe ich mich verrechnet, oder ist diese Matrix nixht diagonalisierbar
- Kann mann (mittels gewissen Bedingungen) entscheiden, ob eine Matrix A diagonalisierbar ist, ohne es vom Anfang bis zum Ende zu rechenn (wie ich) um zu sehen, ob am Ende eine Diagonalmatrix steht oder nicht??
Besten Danke für eure Hilfe und noch einen schönen Feiertag!!
Lg
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> Man diagonalisiere folgende Matrix:
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> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1\\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 3 }[/mm]
> Ich habe diese
> Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten
> gestellt:
>
> Hallo!
>
> Aufgabenstellung siehe oben! Ist eigentlich soweit klar,
> ich möchte nur wissen, wie ich beurteilen kann, ob eine
> Matrix überhaupt diagonalisierbar ist oder nicht??
>
> Prinzipiell bin ich wie folgt vorgegangen:
>
> 1)Charakteristisches Polynom über [mm]det(A-\lambda*I)[/mm]
> gebildet:
>
> [mm]-\lambda^3+6*\lambda^2-11*\lambda+6[/mm] = 0
>
> 2) Eigenwerte der Matrix berechnet:
>
> [mm]\lambda1[/mm] = 1, [mm]\lambda[/mm] = 2, [mm]\lambda[/mm] = 3
>
> 3) Eigenvektor zu [mm]\lambda1:[/mm]
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> v = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\0}[/mm]
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> 4) Eigenvektor zu [mm]\lambda2:[/mm]
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> v = [mm]\vektor{2 \\ 1 \\0}[/mm]
>
> 5) Eigenvektor zu [mm]\lambda3:[/mm]
>
> v = [mm]\vektor{7 \\ 6 \\2}[/mm]
>
> 6) Bilden der Matrix T aus den einzelnen Eigenvektoren:
>
> T = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0 \\ 7 & 6 & 2 }[/mm]
>
> 7) Diagonalmatrix bilden:
>
> Nun sollte ja die Diagonalmatrix D mittels der Formel D =
> [mm]T^T*A*T[/mm] berechnet werden können! Wenn ich diesen Schritt
> durchführe, bekomme ich nur leider als Ergebniss definitiv
> keine Diagonalmatrix, sondern folgende Matrix:
> [mm]\pmat{ 1 & 4 & 21\\ 2 & 10 & 60 \\ 7 & 40 & 267 }[/mm]
>
> Nun zu meinen Fragen:
>
> - Ist die Rechnung wie o. angeführt soweit richtig??
> - Habe ich mich verrechnet, oder ist diese Matrix nixht
> diagonalisierbar
> - Kann mann (mittels gewissen Bedingungen) entscheiden, ob
> eine Matrix A diagonalisierbar ist, ohne es vom Anfang bis
> zum Ende zu rechenn (wie ich) um zu sehen, ob am Ende eine
> Diagonalmatrix steht oder nicht??
>
> Besten Danke für eure Hilfe und noch einen schönen
> Feiertag!!
>
> Lg
>
[mm] T^T*A*T [/mm] gibt nur eine Diagonalmatrix, wenn T eine orthogonale Matrix ist, d.h. die berechneten Eigenvektoren eine Orthonormalbasis bilden. Dies geht immer, wenn A symmetrisch ist, was hier aber nicht der Fall ist.
Im allgemeinen musst die die Inverse [mm] T^{-1} [/mm] statt [mm] T^T [/mm] benutzen: Wenn du dich nicht verrechnet hast, muss
[mm] T^{-1}AT [/mm] eine Diagonalmatrix sein.
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