Definitheit Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \pmat{ 0 & u & v \\ -u & 0 & w \\ -v & -w & 0 }
[/mm]
Prüfen Sie die folgende Matrix auf Definitheit in Abhängigkeit der Parameter u,v,w [mm] \in \IR [/mm] |
Habe mit dem Ansatz begonnen [mm] r(1/2(A+A^{t} [/mm] )r
[mm] A+A^{t} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Also wäre die Matrix doch positiv/negativ semidefinit unabhängig von den Parametern? Oder habe ich es mir zu einfach gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 So 28.06.2009 | | Autor: | Merle23 |
> [mm]\pmat{ 0 & u & v \\ -u & 0 & w \\ -v & -w & 0 }[/mm]
>
> Prüfen Sie die folgende Matrix auf Definitheit in
> Abhängigkeit der Parameter u,v,w [mm]\in \IR[/mm]
> Habe mit dem
> Ansatz begonnen [mm]r(1/2(A+A^{t}[/mm] )r
Was ist das für ein Ansatz?
>
> [mm]A+A^{t}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Also wäre die Matrix doch positiv/negativ semidefinit
> unabhängig von den Parametern? Oder habe ich es mir zu
> einfach gemacht?
Wie habt ihr denn die Definitheit definiert?
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Hi ich bin echt auch kein Freund der Vorlesung , da sowas wie Eigenwerte gar nicht erwähnt wurden und gerade im Bereich Definitheit nützlich wären (falls symmetrisch oder hermitesch)
Der Witz ist das dürfen wir alles nicht benutzen und nur das was in der Vorlesung dran kam und das wären die Sätze:
Eine (nicht notwendigerweise symmetrische) Matrix A
ist positiv definit falls [mm] |_{r} (1/2(A+A^{t})_{r} [/mm] | > 0 für alle r [mm] \in [/mm] 1..n..
negativ definit falls [mm] (-1)*|_{r} (1/2(A+A^{t})_{r} [/mm] | > 0
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:13 So 28.06.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Eine (nicht notwendigerweise symmetrische) Matrix A
> ist positiv definit falls [mm]|_{r} (1/2(A+A^{t})_{r}[/mm] | > 0
> für alle r [mm]\in[/mm] 1..n..
> negativ definit falls [mm](-1)*|_{r} (1/2(A+A^{t})_{r}[/mm] | > 0
>
Was bedeutet denn diese Schreibweise [mm]|_{r} (1/2(A+A^{t})_{r}[/mm]| ?
Darauf bezog sich meine Frage vorher.
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Es sei A [mm] \in [/mm] M(nxn)
Für jedes r [mm] \in [/mm] (1,...,n) bezeichne [mm] _{r}A_{r} [/mm] die rxr Matrix , die aus der Matrix aus A dadurch entsteht , dass man die Zeilen r+1 bis n und die Spalten r+1 bis n streicht.
Mit mehr kann ich auch nicht mehr dienen - diese Definition ist mir auch nicht sehr geläufig!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 So 28.06.2009 | | Autor: | Merle23 |
Ja dann haste doch vollkommen recht.
[mm] A+A^T [/mm] ist die Nullmatrix, d.h. [mm] _{r}A_{r} [/mm] ist auch für alle r die Nullmatrix und somit [mm] |\frac{1}{2}* _{r}A_{r}|=0 [/mm] für alle r, wobei ich jetzt davon ausgehe, dass mit den Betragsstrichen bei euch die Determinante gemeint ist.
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Das Problem ist denke ich, dass man ja gerade in Abhängigkeit der Parameter die mögliche Definitheit prüfen soll. D.h. wenn man die Zeilen r+1 bis n und die Spalten r+1 bis n streicht, streicht man gleichzeitig auch mindestens einen Parameter und prüft somit nicht mehr die Definitheit in Abhängigkeit aller drei Parameter.
Kann man denn etwas damit anfangen, dass links unterhalb der Diagonale alle Parameter im Minus sind, rechts oberhalb der Diagonale alle Parameter positiv? (müsste schon ein großer Zufall sein, dass es so ist, wenn es einem nichts "bringt"...). Stichwort antimetrisch oder hermitesch?
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wenn die Matrix hermitesch ist , kann man es mit Eigenwerten machen und det( [mm] \lambda [/mm] En - A)= 0 berechnen
Also det [mm] \pmat{ \lambda & -u & -v \\ u & \lambda & -w \\ v & w & \lambda}=0
[/mm]
ist eigentlich recht schick und erhält [mm] \lambda^{3}+\lambda uv+\lambda w^{2}+\lambda v^{2}=0
[/mm]
Das wird 0 , entweder alle [mm] \lambda=0 [/mm] also Eigenwerte =0 (somit semidefinit) oder u,v,w = 0!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:21 So 28.06.2009 | | Autor: | Merle23 |
u,v,w sind aber reelle Zahlen laut Aufgabenstellung, somit die Matrix weder symmetrisch, noch hermitsch.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 So 28.06.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Das Problem ist denke ich, dass man ja gerade in
> Abhängigkeit der Parameter die mögliche Definitheit prüfen
> soll. D.h. wenn man die Zeilen r+1 bis n und die Spalten
> r+1 bis n streicht, streicht man gleichzeitig auch
> mindestens einen Parameter und prüft somit nicht mehr die
> Definitheit in Abhängigkeit aller drei Parameter.
>
Laut der Formel von Uebungistalles streicht man aber die Zeilen/Spalten von der Matrix [mm] \frac{1}{2}(A+A^T) [/mm] und das ist die Nullmatrix, somit unabhängig von der Parametern.
> Kann man denn etwas damit anfangen, dass links unterhalb
> der Diagonale alle Parameter im Minus sind, rechts oberhalb
> der Diagonale alle Parameter positiv? (müsste schon ein
> großer Zufall sein, dass es so ist, wenn es einem nichts
> "bringt"...). Stichwort antimetrisch oder hermitesch?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:57 So 28.06.2009 | | Autor: | Mue |
Soweit ich weiss, ist diese Matrixform als schiefsymmetrisch definiert. Allerdings finde ich weder auf den Folien des Matheprofs noch im Netz gescheite Formeln für diesen Fall.
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Ich hätte da noch einen anderen Ansatz...
Eine Matrix nennt man
positiv (semi)definit, wenn [mm] x^T\*Ax> (\ge) [/mm] 0 für alle [mm] x\not=o
[/mm]
negativ (semi)definit, wenn [mm] x^T\*Ax< (\le) [/mm] 0 für alle [mm] x\not=o
[/mm]
Daher könnte man auch mal ausrechnen, was rauskommt, wenn man rechnet:
[mm] (x_{1}\\,x_{2}\\,x_{3})$ \pmat{ 0 & u & v \\ -u & 0 & w \\ -v & -w & 0 } [/mm] $ [mm] \vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}
[/mm]
Bei mir kommt da was komisches raus...
[mm] vx_{1}x_{3}+wx_{2}x_{3}-vx_{3}^2-wx_{3}^2 [/mm] bzw.
[mm] x_{3}(vx_{1}+wx_{2}-vx_{3}-wx_{3})
[/mm]
Kann man damit was anfangen? Z.B. die Aussage treffen, dass wenn v,w=0, dann ist die Matrix semidefinit (über u muss man ja nichts sagen, da es am Ende nicht mehr auftaucht)?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 So 28.06.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Ich hätte da noch einen anderen Ansatz...
>
> Eine Matrix nennt man
>
> positiv (semi)definit, wenn [mm]x^T\*Ax> (\ge)[/mm] 0 für alle
> [mm]x\not=o[/mm]
> negativ (semi)definit, wenn [mm]x^T\*Ax< (\le)[/mm] 0 für alle
> [mm]x\not=o[/mm]
>
> Daher könnte man auch mal ausrechnen, was rauskommt, wenn
> man rechnet:
> [mm](x_{1}\\,x_{2}\\,x_{3})[/mm] [mm]\pmat{ 0 & u & v \\ -u & 0 & w \\ -v & -w & 0 }[/mm]
> [mm]\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}[/mm]
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> Bei mir kommt da was komisches raus...
> [mm]vx_{1}x_{3}+wx_{2}x_{3}-vx_{3}^2-wx_{3}^2[/mm] bzw.
> [mm]x_{3}(vx_{1}+wx_{2}-vx_{3}-wx_{3})[/mm]
>
Du hast dich verrechnet. Es kommt Null raus.
> Kann man damit was anfangen? Z.B. die Aussage treffen, dass
> wenn v,w=0, dann ist die Matrix semidefinit (über u muss
> man ja nichts sagen, da es am Ende nicht mehr auftaucht)?
Somit haben wir unsere vorherige Rechnung bestätigt, nämlich dass die Matrix sowohl positiv als auch negativ semidefinit ist.
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