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Forum "Determinanten" - Determinante bestimmen
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Determinante bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:23 Mi 30.06.2004
Autor: amtrax

Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.

[mm] \begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 4 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 4 & 2 \end{pmatrix} [/mm]

[mm] \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 6 & 0 \\ 4 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0 & 2 \end{pmatrix} [/mm]

Von beiden Matrizen soll ich die Determinante bestimmen. Ich hab die Matrizen auf Dreiecksform gebracht und kam jedes mal auf det = 0. Nun würde ich gerne wissen, ob meine bestimmten Determinanten richtig sind und ob es einen Trick gibt, wie ich bei großen Matrizen einfach/schnell die Determinante bestimmen kann.

cya AmTraX
        
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Determinante bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:34 Mi 30.06.2004
Autor: tine

Hallo,
bei der ersten Martix ist die Determinante 0 und bei der zweiten nimmt Sie den Wert 66 an! Das heißt Du mußt leider die 5*5 nochmal nachrechnen!!!

Liebe Grüße
Tine
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Determinante bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:49 Mi 30.06.2004
Autor: amtrax

Sicher dass die Determinante der 5x5 Matrix richtig ist? Wenn ich die 5Zeilen vertausche, habe ich beim Element x55(unten rechts) eine 0, die auch 0 bleibt.
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Determinante bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:13 Mi 30.06.2004
Autor: Marcel

Hallo Amtrax,

> Sicher dass die Determinante der 5x5 Matrix richtig ist?
> Wenn ich die 5Zeilen vertausche, habe ich beim Element
> x55(unten rechts) eine 0, die auch 0 bleibt.

  
Dafür hast du aber in der letzten Spalte dann an einer anderen Stelle einen Nichtnulleintrag, und mußt du Determinante dennoch (zum Beispiel mit dem Entwicklungssatz von Laplace) ausrechnen. Oder verstehe ich dich falsch?

Auf jeden Fall nun die Rechnung zu der zweiten Matrix:
[mm]\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 6 & 0 \\ 4 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}[/mm]

Es gilt nach dem Entwicklungssatz von Laplace (Entwicklung nach der letzten Spalte in der $5$x$5$-Matrix und danach Entwicklung nach der zweiten Spalte in der $4$x$4$-Matrix):
[mm]\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & 6 & 0 \\ 4 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0 & 2 \end{vmatrix} =2*\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & 6\\ 4 & 0 & 2 & 1\\ 1 & 3 & 2 & 3\\ 3 & 0 & 1 & 0\\ \end{vmatrix} =2*(-3)*\begin{vmatrix} 2 & 1 & 6\\ 4 & 2 & 1\\ 3 & 1 & 0\\ \end{vmatrix}[/mm]


[mm]=-6*(2*2*0+1*1*3+6*4*1-3*2*6-1*1*2-0*4*1) =-6*(3+24-36-2) =-6*(-11)=66[/mm]

(Die Determinante der $3$x$3$-Matrix habe ich wie hier:
[]http://www.mathe-online.at/materialien/klaus.berger/files/Matrizen/determinante.pdf
ausgerechnet [mm] ($\rightarrow$ [/mm] Seite 2) (mir fällt der Name dieser Entwicklung gerade nicht ein, [sorry]).)

Marcel, 14:21 Uhr, Nachtrag: Die Determinante der $3$x$3$-Matrix habe ich nach der Regel von Sarrus ausgerechnet! Ich habe es gerade im Netz gefunden! :-)

Liebe Grüße
Marcel
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Determinante bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:44 Mi 30.06.2004
Autor: Benny

Kannst du deine Berechnung nochmal hier genauer erläutern? Ich hab wohl irgendwo einen Fehler in meinen Berechnungen, komme nämlich immer wieder auf -66 für die 2. Matrix.
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Determinante bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:48 Mi 30.06.2004
Autor: Marc

Hallo Benny,

[willkommenmr]

> Kannst du deine Berechnung nochmal hier genauer erläutern?
> Ich hab wohl irgendwo einen Fehler in meinen Berechnungen,
> komme nämlich immer wieder auf -66 für die 2. Matrix.

Das hat Marcel doch hier vorgerechnet.

Falls dir Marcels Ausführungen nicht reichen, melde dich einfach wieder.

Viele Grüße,
Marc
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Determinante bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:58 Mi 30.06.2004
Autor: Benny

Danke :)

Den hab ich wohl übersehen, jetzt hab ich den Fehler auch gefunden.
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Determinante bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:13 Mi 30.06.2004
Autor: choosy

Zur berechnung:
die 1.matrix ist eine blockmatrix , es reicht also die det. der beiden 4x4 matrizen zu berechnen.
bei der zweiten matrix:
-nach letzter spalte entwickeln, es bleibt die det einer 4x4 zu berechnen,
diese nach 2.spalte entwickeln,
dann bleibt noch eine 3x3 Matrix, und die ist explizit schnell berechnet.
Es ist als kaum ein einwand die det der matrizen zu berechnen wenn
man die struktur geeignet ausnutzt...
es lohnt sich meistens erstmal länger hinzugucken, bevor man stur losrechnet.
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Determinante bestimmen: Frage (für Interessierte)
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 23:00 Mi 30.06.2004
Autor: Leibniz

Habe das für die 7 x 7 erledigt.

Det der 4 x 4  - Matrizen ist jeweils -1
det der  7 x7 ist allerdings 0!

Wie bekomm ich denn die beiden Ergebnisse denn da zusammen , also die 4x4 Blöcke zu der 7x7?

Vielen dank für deine Antwort - ist mir eine große Hilfe! :-)


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