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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Mi 20.03.2013 | | Autor: | love |
HAllo Leute, ich hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen.Ich lerne gerade für eine Nachschreibeklausur und folgende Aufgabe ist gegeben. Für welche Werte von [mm] a\in\IR [/mm] ist die Matrix diagonalisierbar. [mm] A=\pmat{ 3 & a \\ -1 & 1 }. [/mm] Ich ahbe zunächst das charakteristische Polynom ausgerechnet. Da kam [mm] z^2-4z+3+a [/mm] raus. Nun rechne ich mit der pq-Formel die EW aus. Für a=1 kommen als Eigenwerte z=2 raus d.h nicht diag. Nun fängt mein Problem an für a ungleich 1 wie soll ich das jetzt zeigen
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Hallo love,
> HAllo Leute, ich hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen.Ich
> lerne gerade für eine Nachschreibeklausur und folgende
> Aufgabe ist gegeben. Für welche Werte von [mm]a\in\IR[/mm] ist die
> Matrix diagonalisierbar. [mm]A=\pmat{ 3 & a \\
-1 & 1 }.[/mm] Ich
> ahbe zunächst das charakteristische Polynom ausgerechnet.
> Da kam [mm]z^2-4z+3+a[/mm] raus. Nun rechne ich mit der pq-Formel
> die EW aus. Für a=1 kommen als Eigenwerte z=2 raus ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") d.h
> nicht diag.
Richtig! Aber wieso nicht?
> Nun fängt mein Problem an für a ungleich 1
> wie soll ich das jetzt zeigen
Welche Kriterien kennst du denn für Diagonalisierbarkeit?
Wie war das mit dem charakt. Polynom und dem Zerfallen in lauter verschiedene Linearfaktoren?
Wenn du kein Kriterium kennst oder dir keines einfällt, bestimme die Diagonalmatrix ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Mi 20.03.2013 | | Autor: | love |
Also ich kenne nur 2 Kriterin für die Diagonalisierbarkeit.
1. Algebraische VFH= geom. VFH dann folgt diag. (ich glaub das ist uninteressant bei dieser Aufgabe)
2. Wenn es 3 paarweise verschieden EW ex. dann folgt diag. Hier gibt es ja nur zwei EW die gleich sind daraus folgt nicht diag.
Ich weiss jetzt nicht wie ich weiter machen muss :(
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Hallo nochmal,
> Also ich kenne nur 2 Kriterin für die
> Diagonalisierbarkeit.
> 1. Algebraische VFH= geom. VFH dann folgt diag. (ich glaub
> das ist uninteressant bei dieser Aufgabe)
Nicht unbedingt.
Für [mm] $a\neq [/mm] 1$ hast du zwei veschiedene Nullstellen des char. Polynoms, beide mit VFH 1 (also algebr. VFH = 1)
Was weißt du über den Zusammenhang zwischen algebr. und geom. VFH?
> 2. Wenn es 3 paarweise verschieden EW ex. dann folgt diag.
Aha. Nie gehört. Du hast doch max. 2 (verschiedeme) Eigenwerte hier. Davon sollen 3 paarweise verschieden sein?!
Interessant!
Besser nacharbeiten, wie das noch gleich war ...
> Hier gibt es ja nur zwei EW die gleich sind daraus folgt
> nicht diag.
> Ich weiss jetzt nicht wie ich weiter machen muss :(
Steht in 1.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Mi 20.03.2013 | | Autor: | love |
Alsoo:)
Wir haben ja zwei EW für a ungleich 1, die lauten ja [mm] z1=2+\wurzel{1+a} [/mm] und z2= [mm] 2-\wurzel{1+a}. [/mm] Die treten jeweils einmal auf also algb VFH=1. Die geom VFH ist dim des Eigenraums. ich muss hier die Gleichheit algb=geom. zeigen. OK, das habe ich verstanden, aber stimmen meine EW´e für a ungleich 1.
Für a=1 ist das ganze leicht, aber diese Wurzel nervt :) Wenn die EW für a ungleich 1 stimmen, dann kommt bei mir dim=2 raus, was wiederum heißt nicht diag, da alg VFH 1 ungleich geom.VFH 2
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Hallo nochmal,
> Alsoo:)
> Wir haben ja zwei EW für a ungleich 1, die lauten ja
> [mm]z1=2+\wurzel{1+a}[/mm] und z2= [mm]2-\wurzel{1+a}.[/mm]
Unter der Wurzel steht doch [mm]1\red -a[/mm]
> Die treten
> jeweils einmal auf also algb VFH=1. Die geom VFH ist dim
> des Eigenraums. ich muss hier die Gleichheit algb=geom.
> zeigen. OK, das habe ich verstanden, aber stimmen meine
> EW´e für a ungleich 1.
Bis auf das Vorzeichen.
> Für a=1 ist das ganze leicht, aber diese Wurzel nervt :)
> Wenn die EW für a ungleich 1 stimmen, dann kommt bei mir
> dim=2 raus, was wiederum heißt nicht diag, da alg VFH 1
> ungleich geom.VFH 2
Schau doch endlich mal im Skript oder deiner Mitschrift nach, wie der Zusammenhang zwischen algebr. und geometr. VFH ist. Rumraten bringt gar nix!
Die geometr. VFH ist IMMER [mm]\le[/mm] der algebr. VFH und IMMER [mm]\ge 1[/mm]
Also [mm]\le 1[/mm] und [mm]\ge 1[/mm], damit [mm]=1[/mm] und stimmt daher mit der algebr. VFH überein.
Feddich!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 Mi 20.03.2013 | | Autor: | love |
ja schuldigung,dass war ein Tippfehler und tut mir leid,dass du wegen mir so genervt wurdest, aber wenn ich darauf gekommen wäre oder es irgendwo gesehen hätte, dann würde ich dich gar nicht fragen. Trotzdem danke schön!!!
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