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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Do 01.03.2012 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
2xy* y´ [mm] =3y^{2}-x^{2} [/mm] |
Hallo,
könnte sich vllt jemand einmal meine Vorgehensweise ansehen, da ich nicht genau weiß ob ich das richtig gemacht hab.
BEACHTET DAZU BITTE MEINE ANHÄNGE
Mit freundlichen Grüßen
RWBK
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Habe zwar den Fehler noch nicht gefunden, aber das Ergebnis für y(x) sollte (meiner Rechnung nach) lauten:
[mm] y_1(x)=-x\sqrt{x*c_1+1} [/mm] , [mm] y(x)_2=x\sqrt{xc_1+1}
[/mm]
wenn du willst schreibe ich dir die wichtigsten Schritte meiner Rechnung auf einen Zettel zusammen und Scann sie dir ein ;)
LG Scherzkrapferl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Do 01.03.2012 | | Autor: | RWBK |
.Hallo,
danke für deine Hilfe,
[mm] \bruch{y^{2}}{x^{2}}=x*c+1
[/mm]
Aber wenn ich diese Gleichung umstelle nach [mm] y^{2} [/mm] komme ich niemals auf dein Ergebnis. Verdammter mist. Oder kann ich ein [mm] \wurzel{x^{2}} [/mm] davor ziehen?
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Hallo RWBK,
> .Hallo,
> danke für deine Hilfe,
>
> [mm]\bruch{y^{2}}{x^{2}}=x*c+1[/mm]
> Aber wenn ich diese Gleichung umstelle nach [mm]y^{2}[/mm] komme
> ich niemals auf dein Ergebnis. Verdammter mist. Oder kann
> ich ein [mm]\wurzel{x^{2}}[/mm] davor ziehen?
>
Da hat sich mein Vorredner wohl verschrieben:
[mm]y_1(x)=-x\sqrt{x\cdot{}c_1\blue{+}1} , \ y_2(x)=x\sqrt{xc_1\blue{+}1} [/mm]
Gruss
MathePower
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Vollkommen richtig erkannt lieber MathePower.
Vielen Dank für die Richtigstellung.
LG Scherzkrapferl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Do 01.03.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
ich habe jetzt nur mal schnell drübergekukt. Zweiter Zettel:
Aus
[mm] $\int\frac{1}{z}\,\mathrm{d}z=\int\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$
[/mm]
folgt nicht
[mm] $\ln z=\ln x+\ln [/mm] c$
sondern:
[mm] $\ln z=\ln [/mm] (x+c)$
Gruß,
notinX
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Hallo RWBK,
Deine Lösung ist richtig!
Nur ein Vorzeichenfehler:
[mm] $y^2 \; [/mm] = [mm] \; C*x^3+x^2$ [/mm] also: $y [mm] \; [/mm] = [mm] \; \pm \wurzel{C*x^3+x^2}$
[/mm]
Des weiteren könnte man mit Hilfe eines integrierenden Faktors Deine DGL zu einer exakten DGL machen - der Rechengang ist anders; das Ergebnis das gleiche:
$2xyy' [mm] \; [/mm] = [mm] \; 3y^2-x^2$
[/mm]
[mm] $(x^2-3y^2)\; [/mm] dx+(2xy) [mm] \; [/mm] dy [mm] \; [/mm] = [mm] \; [/mm] 0$
Ein integrierende Faktor ist:
[mm] I(x)=\frac{1}{x^4}
[/mm]
[mm] $\left(\frac{1}{x^2}-3*\frac{y^2}{x^4} \right) \; [/mm] dx [mm] +\left(2*\frac{y}{x^3} \right)\; [/mm] dy [mm] \; [/mm] = [mm] \; [/mm] 0 $
Das ist: $M [mm] \; [/mm] dx+N [mm] \; [/mm] dy [mm] \; [/mm] = [mm] \; [/mm] 0$
[mm] $M_y \; [/mm] = [mm] \; -6*\frac{y}{x^4} \; [/mm] = [mm] \; N_x$
[/mm]
[mm] $\int [/mm] M [mm] \; [/mm] dx [mm] \; [/mm] = [mm] \; \frac{y^2}{x^3}-\frac{1}{x}+f(y)$
[/mm]
[mm] $\int [/mm] N [mm] \; [/mm] dy [mm] \; [/mm] = [mm] \; \frac{y^2}{x^3}+f(x)$
[/mm]
f(y)=0 und $f(x) [mm] \; [/mm] = [mm] \; -\frac{1}{x}$
[/mm]
Damit:
$F(x,y) [mm] \; =\; \frac{y^2}{x^3} [/mm] - [mm] \frac{1}{x}-C \; [/mm] = [mm] \; [/mm] 0 $ oder eben: [mm] $y^2 \; [/mm] = [mm] \; C*x^3+x^2$
[/mm]
LG, Martinius
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