Differentialrechnung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:07 Do 01.03.2012 | | Autor: | mike1988 |
| Aufgabe | | Man zeige, dass die Gleichung [mm] f(x,y)=y^5*e^y-(2*x^2+3)*sin(y)+x^2*y^2-x*cos(x)=0 [/mm] in einer Umgebung des Punktes P(0,0) nach y aufgelöst werden kann, d.h.: man kann y als Funktion von x in der Form y=g(x) angeben. Ferner bestimme man die erste ABleitung g´(0) und die Gleichung der Tangente an die Kurve f(x,y)=0 im Punkt P |
Hallo!
Mein Ansatz lautet:
Wenn die partielle Ableitung nach y der Funktion f(x,y) existiert, und im Punkt P(0,0) ungleich Null ist, kann ich die Funktion in der Umgebung von P in der Form y=g(x) darstellen.
Dies habe ich kontrolliert! Die partielle ABleitung im Punkt P ergibt -3, d.H.: ungleivh NUll, also sollte ich die Funktion in dieser Umgebung in explizieter Form angeben können!
Nun fehlt mir jedoch der Ansatz, wie ich die Funktion "nach y auflösen" kann!
Wäre für eine kleine Hilfestellung sehr dankbar!
Mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:39 Do 01.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Man zeige, dass die Gleichung
> [mm]f(x,y)=y^5*e^y-(2*x^2+3)*sin(y)+x^2*y^2-x*cos(x)=0[/mm] in einer
> Umgebung des Punktes P(0,0) nach y aufgelöst werden kann,
> d.h.: man kann y als Funktion von x in der Form y=g(x)
> angeben. Ferner bestimme man die erste ABleitung g´(0) und
> die Gleichung der Tangente an die Kurve f(x,y)=0 im Punkt
> P
> Hallo!
>
> Mein Ansatz lautet:
>
> Wenn die partielle Ableitung nach y der Funktion f(x,y)
> existiert, und im Punkt P(0,0) ungleich Null ist, kann ich
> die Funktion in der Umgebung von P in der Form y=g(x)
> darstellen.
Vielleicht meinst Du das richtige, aber es lautet so: ist [mm] f_y(0,0) \ne [/mm] 0 und f(0,0)=0, so ex. eine Umgebung U [mm] \subseteq \IR [/mm] von 0 und eine Funktion g:U [mm] \to \IR [/mm] mit:
f(0)=0 und f(x,g(x))=0 für alle x [mm] \in [/mm] U .
>
> Dies habe ich kontrolliert! Die partielle ABleitung im
> Punkt P ergibt -3, d.H.: ungleivh NUll, also sollte ich die
> Funktion in dieser Umgebung in explizieter Form angeben
> können!
Nein. Das kannst Du mit Sicherheit nicht. Ich auch nicht.
>
> Nun fehlt mir jedoch der Ansatz, wie ich die Funktion "nach
> y auflösen" kann!
Es geht doch hier um eine Anwendung des Satzes über implizit definierte Funktionen.
Wenn die Vor. dieses Satzes erfüllt sind, so wird durch die Gl. f(x,y)=0 implizit eine Funktion y=g(x) def., also
f(x,g(x))=0 für alle x [mm] \in [/mm] U .
Explizit auflösen nach g kann man die obige Gl. nicht.
FRED
>
> Wäre für eine kleine Hilfestellung sehr dankbar!
>
> Mfg
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