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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 So 24.06.2012 | | Autor: | Bluma89 |
Hallo ihr. Auch wenn gerade Italien gegen England spielt hätte ich eine Frage zu meinen Aufgaben:
Ich soll die Jacobimatrix folgender Funktion aufstellen:
[mm] f(r,\phi,z)=(r*cos(\phi),r*sin(\phi),z)
[/mm]
Meine Matrix sieht dann folgendermaßen aus:
[mm] J(r,\phi,z)=\pmat{cos(\phi) & -r*sin(\phi) & 0 \\ sin(\phi) & r*cos(\phi) & 0 \\ 0 & 0& 1 }
[/mm]
Ist diese soweit richtig?
Weiterhin habe ich die Funktion f(x1,x2)=(x1-x2)*ln(x1+x2). Davon soll ich die Richtungsableitung im Punkt P=(-1,3) in Richtung des Einheitsvektors [mm] \overrightarrow{e}=\vektor{e1 \\ e2} [/mm] bestimmen:
[mm] \bruch{d}{dx1}f(x1,x2) [/mm] = [mm] \bruch{d}{dx1}[(x1-x2)*ln(x1+x2)] [/mm] = [mm] \bruch{d}{dx1}[x1-x2]*ln(x1+x2)+\bruch{d}{dx1}[ln(x1+x2)]*(x1-x2) [/mm] = [mm] ln(x1+x2)+\bruch{x1-x2}{x1+x2}
[/mm]
[mm] \bruch{d}{dx2}f(x1,x2) [/mm] = [mm] \bruch{d}{dx2}[(x1-x2)*ln(x1+x2)] [/mm] = [mm] \bruch{d}{dx2}[x1-x2]*ln(x1+x2)+\bruch{d}{dx2}[ln(x1+x2)]*(x1-x2) [/mm] = [mm] -ln(x1+x2)+\bruch{x1-x2}{x1+x2}
[/mm]
[mm] grad(f)=[ln(x1+x2)+\bruch{x1-x2}{x1+x2},-ln(x1+x2)+\bruch{x1-x2}{x1+x2}]
[/mm]
Richtungsableitungsvektor:
[mm] \vektor{ln(x1+x2)+\bruch{x1-x2}{x1+x2} \\ -ln(x1+x2)+\bruch{x1-x2}{x1+x2}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] =
Ist dies soweit korrekt?
Für den Punkt P müsste ich dann -1 und 3 für x1 und x2 einsetzen?
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Hallo Bluma89,
> Hallo ihr. Auch wenn gerade Italien gegen England spielt
> hätte ich eine Frage zu meinen Aufgaben:
>
> Ich soll die Jacobimatrix folgender Funktion aufstellen:
>
> [mm]f(r,\phi,z)=(r*cos(\phi),r*sin(\phi),z)[/mm]
>
> Meine Matrix sieht dann folgendermaßen aus:
>
> [mm]J(r,\phi,z)=\pmat{cos(\phi) & -r*sin(\phi) & 0 \\ sin(\phi) & r*cos(\phi) & 0 \\ 0 & 0& 1 }[/mm]
>
> Ist diese soweit richtig?
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Weiterhin habe ich die Funktion f(x1,x2)=(x1-x2)*ln(x1+x2).
> Davon soll ich die Richtungsableitung im Punkt P=(-1,3) in
> Richtung des Einheitsvektors [mm]\overrightarrow{e}=\vektor{e1 \\ e2}[/mm]
> bestimmen:
>
> [mm]\bruch{d}{dx1}f(x1,x2)[/mm] = [mm]\bruch{d}{dx1}[(x1-x2)*ln(x1+x2)][/mm]
> =
> [mm]\bruch{d}{dx1}[x1-x2]*ln(x1+x2)+\bruch{d}{dx1}[ln(x1+x2)]*(x1-x2)[/mm]
> = [mm]ln(x1+x2)+\bruch{x1-x2}{x1+x2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{d}{dx2}f(x1,x2)[/mm] = [mm]\bruch{d}{dx2}[(x1-x2)*ln(x1+x2)][/mm]
> =
> [mm]\bruch{d}{dx2}[x1-x2]*ln(x1+x2)+\bruch{d}{dx2}[ln(x1+x2)]*(x1-x2)[/mm]
> = [mm]-ln(x1+x2)+\bruch{x1-x2}{x1+x2}[/mm]
>
> [mm]grad(f)=[ln(x1+x2)+\bruch{x1-x2}{x1+x2},-ln(x1+x2)+\bruch{x1-x2}{x1+x2}][/mm]
>
> Richtungsableitungsvektor:
> [mm]\vektor{ln(x1+x2)+\bruch{x1-x2}{x1+x2} \\ -ln(x1+x2)+\bruch{x1-x2}{x1+x2}}[/mm]
> * [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] =
>
> Ist dies soweit korrekt?
>
Ja.
> Für den Punkt P müsste ich dann -1 und 3 für x1 und x2
> einsetzen?
Genau.
Gruss
MathePower
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