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| Aufgabe | In welchen Punkten sind die folgenden Funktionen differenzierbar? Berechnen Sie ggf. ihre ableitung:
[mm] f(x)=\begin{cases} 1-x, & \mbox{für} x \mbox{ <= 0 } \\ x²-x+1 , & \mbox{für } x \mbox{ >0 } \end{cases}
[/mm]
[mm] g(x)=\begin{cases} \bruch{x}{1+e^{1/x}}, & \mbox{für } x \mbox{ \nicht 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{=0 } \end{cases}
[/mm]
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Hi,
ich weiß bei diesen Aufgaben gar nicht wie ich anfangen soll. Könnte mir bitte jemanden einen Ansatz geben?
lg
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Hallo aliaszero,
> In welchen Punkten sind die folgenden Funktionen
> differenzierbar? Berechnen Sie ggf. ihre ableitung:
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> [mm]f(x)=\begin{cases} 1-x, & \mbox{für} x \mbox{ <= 0 } \\ x²-x+1 , & \mbox{für } x \mbox{ >0 } \end{cases}[/mm]
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> [mm]g(x)=\begin{cases} \bruch{x}{1+e^{1/x}}, & \mbox{für } x \neq 0 \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{=0 } \end{cases}[/mm]
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> Hi,
> ich weiß bei diesen Aufgaben gar nicht wie ich anfangen
> soll. Könnte mir bitte jemanden einen Ansatz geben?
Beide Funktionen sind als Verkettung von Funktionen, die außerhalb von 0 diffbar sind, auch außerhalb von 0 diffbar.
Einzig an der Stelle $x=0$ gibt's möglicherweise Stress.
Nimm dir die Definition von Diffbarkeit her (Limes des Differenzenquotienten berechnen) und berechne jeweils den linksseitigen und rechtsseitigen Limes desselben
[mm] $\lim\limits_{x\downarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ [/mm] bzw. [mm] $\lim\limits_{x\uparrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$
[/mm]
Wahlweise auch mit der "h-Methode"
Wenn die linksseitigen und rechtsseitigen Limites jeweils existieren (also insbesondere endlich sind) und gleich sind, dann hast du gewonnen 
Falls mind. einer nicht existiert oder sie unterschiedlich sind, Pech gehabt
>
> lg
LG
schachuzipus
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