Differenzierbarkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Leute,
das Semester hat kaum begonnen, da steck ich schon wieder in der Klemme. Wäre toll, wenn mir irgendjemand einenentscheidenden tip zur Lösung meiner Aufgabe geben könnte.
ich soll folgendes lösen:
Zeigen Sie, das folgende Funktion auf ganz [mm] \IR [/mm] beliebig oft differenzierbar ist:
f: [mm] \IR \to \IR
[/mm]
x [mm] \mapsto \begin{cases} e^{\bruch{-1}{ x^{2}}}, & \mbox{für } x \not= 0 \\ 0, & \mbox{für } x = 0 \end{cases}
[/mm]
Ich hab versucht, durch mehrfaches ableiten eine art Periodizität zu finden, so daß man dann vielleichteinen Induktionsbeweis führen kann, bin aber irgendwie nihct weit gekommen, der term bläht sich endlos auf... hat irgendjemand eine bessere idee, oder kann mir die Ableitungen etwas vereinfacht aufschreiben????
Vielen dank schonmal,
Biene
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 So 10.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Sabine,
für alle Stellen [mm] $x\neq [/mm] 0$ kannst du ja die Ableitungen bilden, dabei sollte dir eine generelle Struktur (aber keine Periodizität) auffallen, mit der du begründen kannst, dass dort die Funktion beliebig oft differenzierbar ist.
Schwieriger wird es für die Differenzierbarkeit an der Stelle $x=0$. Dort musst du Nachweisen, dass der Grenzwert [mm] $f^{(n)}(0)$ [/mm] immer existiert.
Gruß Max
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