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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Sa 17.12.2011 | | Autor: | s1mn |
| Aufgabe | Es sei V = [mm] \IC [/mm] im Sinne von Blatt 7 Aufgabe 4 (b) als [mm] \IR-Vektorraum [/mm] aufgefasst. Man bestimme
nun die Dimension [mm] dim_{R} [/mm] V von V = [mm] \IC [/mm] als [mm] \IR-Vektorraum. [/mm] |
Hey Leute,
und wieder mal ich mit kurzen Frage.
Also es handelt sich um obige Aufgabe.
Hab die Aufgabe jetzt eigentlich schon gelöst, aber ich bin mir nicht ganz sicher ob die Beweisführung so richtig ist.
Momentan siehts so aus:
man betrachte die kanonischen Einheitsvektoren:
[mm] e_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0}
[/mm]
[mm] e_{2} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0}
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] e_{n} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1}
[/mm]
Da w = Re(w) + Im(w) * i [mm] \Rightarrow [/mm] weitere Einheitsvektoren:
[mm] e_{n+1} [/mm] = [mm] \vektor{i \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0}
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] e_{2n} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ i}
[/mm]
man betrachte nun:
[mm] \lambda_{1} [/mm] * [mm] e_{1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \lambda_{n} [/mm] * [mm] e_{n} [/mm] + [mm] \lambda_{n+1} [/mm] * [mm] e_{n+1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \lambda_{2n} [/mm] * [mm] e_{2n} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow \lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] \lambda_{n} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow \lambda_{n+1} [/mm] = [mm] \lambda_{n+2} [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] \lambda_{2n} [/mm] = 0
sei w = [mm] \vektor{w_{1} \\ w_{2} \\ \vdots \\ w_{n}} \in \IC^{n} [/mm] beliebig:
w = [mm] Re(w_{1}) [/mm] * [mm] e_{1} [/mm] + [mm] Re(w_{2}) [/mm] * [mm] e_{2} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] Re(w_{n}) [/mm] * [mm] e_{n} [/mm] + [mm] Im(w_{n+1}) [/mm] * [mm] e_{n+1} [/mm] + [mm] Im(w_{n+2}) [/mm] * [mm] e_{n+2} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] Im(w_{2n}) [/mm] * [mm] e_{2n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] w ist darstellbar durch die Einheitsvektoren [mm] e_{1}, e_{2}, \ldots [/mm] , [mm] e_{n}, e_{n+1}, \ldots, e_{2n}.
[/mm]
Eindeutigkeit:
w = [mm] \mu_{1} [/mm] * [mm] e_{1} [/mm] + [mm] \mu_{2} [/mm] * [mm] e_{2} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \mu_{n} [/mm] * [mm] e_{n} [/mm] + [mm] \mu_{n+1} [/mm] * [mm] e_{n+1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \mu_{2n} [/mm] * [mm] e_{2n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] dann gilt: [mm] \mu_{1} [/mm] = [mm] Re(w_{1}), \ldots [/mm] , [mm] \mu_{n} [/mm] = [mm] Re(w_{n})
[/mm]
[mm] \mu_{n+1} [/mm] = [mm] Im(w_{1}), \ldots [/mm] , [mm] \mu_{2n} [/mm] = [mm] Im(w_{n})
[/mm]
[mm] e_{1}, e_{2}, \ldots [/mm] , [mm] e_{n}, e_{n+1}, \ldots, e_{2n}. [/mm] bilden eine Basis von [mm] \IC [/mm] !
[mm] \Rightarrow dim_{\IR} [/mm] ( [mm] \IC) [/mm] = n + n = 2n
Würde das so durchgehn ? Bin mir da nicht ganz sicher, wegen der Argumentation, dass die Vektoren eine Basis bilden usw.
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> Es sei V = [mm]\IC[/mm] im Sinne von Blatt 7 Aufgabe 4 (b) als
> [mm]\IR-Vektorraum[/mm] aufgefasst. Man bestimme
> nun die Dimension [mm]dim_{R}[/mm] V von V = [mm]\IC[/mm] als
> [mm]\IR-Vektorraum.[/mm]
>
Hallo,
mich beschleicht der Verdacht, daß Du eigentlich über den [mm] \IC^n [/mm] sprechen möchtest und nicht über [mm] \IC.
[/mm]
Die Aufgabe hast du richtig gelöst.
> Momentan siehts so aus:
>
> man betrachte die kanonischen Einheitsvektoren:
Es sei
> [mm]e_{1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
\vdots \\
0}[/mm]
> [mm]e_{2}[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\
1 \\
0 \\
0 \\
\vdots \\
0}[/mm]
> [mm]\vdots[/mm]
> [mm]e_{n}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
\vdots \\
1}[/mm]
> Da w = Re(w) + Im(w) * i [mm]\Rightarrow[/mm] weitere Einheitsvektoren:
und
> [mm]e_{n+1}[/mm] = [mm]\vektor{i \\
0 \\
0 \\
0 \\
\vdots \\
0}[/mm]
>
> [mm]\vdots[/mm]
> [mm]e_{2n}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
\vdots \\
i}[/mm]
Behauptung: [mm] (e_1,...,e_{2n}) [/mm] ist eine Basis des [mm] \IR-VRes \IC^n.
[/mm]
Bew.:
1.Lineare Unabhängigkeit
>
> man betrachte nun:
Es seinen [mm] \lambda_1,...,\lambda_{2n}\in \IR, [/mm] so daß
> [mm]\lambda_{1}[/mm] * [mm]e_{1}[/mm] + [mm]\ldots[/mm] + [mm]\lambda_{n}[/mm] * [mm]e_{n}[/mm] + [mm]\lambda_{n+1}[/mm] * [mm]e_{n+1}[/mm] + [mm]\ldots[/mm] + [mm]\lambda_{2n}[/mm] * [mm]e_{2n}[/mm] = 0.
Ich würde zunächst noch das sich ergebende GS aufschreiben:
==> [mm] \lambda_i+i*\lambda_{n+i}=0 [/mm] für alle [mm] i\in \{1,2,...,n\}
[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lambda_{1}[/mm] = [mm]\lambda_{2}[/mm] = [mm]\ldots[/mm] = [mm]\lambda_{n}[/mm] = 0 und [mm] \lambda_{n+1}=[/mm] [mm]\lambda_{n+2}[/mm] = [mm]\ldots[/mm] = [mm]\lambda_{2n}[/mm] = 0.
Also ist [mm] (e_1,...,e_{2n}) [/mm] linear unabhängig
2.Erzeugendensystem:
>
> sei w = [mm]\vektor{w_{1} \\
w_{2} \\
\vdots \\
w_{n}} \in \IC^{n}[/mm]
> beliebig.
Es ist
>
> w =[mm]Re(w_{1})[/mm] * [mm]e_{1}[/mm] + [mm]Re(w_{2})[/mm] * [mm]e_{2}[/mm] + [mm]\ldots[/mm] + [mm]Re(w_{n})[/mm] * [mm]e_{n}[/mm] + [mm]Im(w_{n+1})[/mm] * [mm]e_{n+1}[/mm] + [mm]Im(w_{n+2})[/mm] *[mm]e_{n+2}[/mm] + [mm]\ldots[/mm] + [mm]Im(w_{2n})[/mm] * [mm]e_{2n}[/mm]
Na! Was sind denn [mm] w_{n+1},..., w_{2n}? [/mm] Die gibt's ja gar nicht.
Mir ist klar, daß dies ein Versehen ist.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] w ist darstellbar [s]durch die Einheitsv
als Linearkombination der
> vektoren
> [mm]e_{1}, e_{2}, \ldots[/mm] , [mm]e_{n}, e_{n+1}, \ldots, e_{2n}.[/mm]
Also ist [mm] (e_1,...,e_{2n}) [/mm] ein Erzeugendensystem.
Aus 1. und 2. folgt: [mm] (e_1,...,e_{2n}) [/mm] ist eine Basis des VRes [mm] \IC^n [/mm] über [mm] \IR.
[/mm]
> [mm] $\Rightarrow dim_{\IR}$ [/mm] ( [mm] $\IC)$ [/mm] = n + n = 2n
Hier bist Du fertig. Die eindeutige Darstellbarkeit brauchst Du nicht, denn du hast ja zuvor die lineare Unabhängigkeit gezeigt.
Gruß v. Angela
>
> Eindeutigkeit:
> w = [mm]\mu_{1}[/mm] * [mm]e_{1}[/mm] + [mm]\mu_{2}[/mm] * [mm]e_{2}[/mm] + [mm]\ldots[/mm] + [mm]\mu_{n}[/mm] *
> [mm]e_{n}[/mm] + [mm]\mu_{n+1}[/mm] * [mm]e_{n+1}[/mm] + [mm]\ldots[/mm] + [mm]\mu_{2n}[/mm] * [mm]e_{2n}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] dann gilt: [mm]\mu_{1}[/mm] = [mm]Re(w_{1}), \ldots[/mm] ,
> [mm]\mu_{n}[/mm] = [mm]Re(w_{n})[/mm]
> [mm]\mu_{n+1}[/mm] = [mm]Im(w_{1}), \ldots[/mm] , [mm]\mu_{2n}[/mm] = [mm]Im(w_{n})[/mm]
>
> [mm]e_{1}, e_{2}, \ldots[/mm] , [mm]e_{n}, e_{n+1}, \ldots, e_{2n}.[/mm]
> bilden eine Basis von [mm]\IC[/mm] !
>
> [mm]\Rightarrow dim_{\IR}[/mm] ( [mm]\IC)[/mm] = n + n = 2n
>
> Würde das so durchgehn ? Bin mir da nicht ganz sicher,
> wegen der Argumentation, dass die Vektoren eine Basis
> bilden usw.
>
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