Dimension von T < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Do 29.11.2007 | | Autor: | xcase |
| Aufgabe | Gegeben sei der Teilraum T:= [mm] span\{x^{2},x^{2}-x,x\} [/mm] von [mm] \IR_{\le2}[x] [/mm] . Bestimmen sie die Dimension von T.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt. |
Soweit ich verstanden hab dann beschreibt die Dimension die Anzahl der Basiselemente. Damit muss ich ja erstmal zeigen das T eine Basis ist..... .
[mm] \lambda_{1}x^{2} [/mm] + [mm] \lambda_{2}(x^{2}-x) [/mm] + [mm] \lambda_{3}x [/mm] = [mm] 0x^{2} [/mm] + [mm] 0(x^{2}-x) [/mm] + 0
[mm] \Rightarrow \lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] \lambda_{3} [/mm] = 0 ???
Diesen Schritt versteh ich nciht so genau, unser Lehrer meinte dazu einfach Koeffizientenvergleich...man kann doch aber nicht einfach so annehmen das [mm] \lambda_{1,2,3} [/mm] = 0 sind oder? Ich meine waere der Teilraum [mm] \{1,7,x^{2},x\} [/mm] dann waere das ganze linear abhaengig....da 1*7=7 ist.
Aber funktioniert das bei der Aufgabe wirklich so?
Damit waer doch T lin. unabhaengig und die Dimension [mm] Dim_{\IR}(\IR_{\le2}[x]) [/mm] = 3 .
Schreibt man das auch so auf?
MfG Tomi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:29 Do 29.11.2007 | | Autor: | Gilga |
Man sieht sofort [mm] x^2=(x^2-x)+x
[/mm]
als $ [mm] span\{x^{2},x^{2}-x,x\} [/mm] $ =$ [mm] span\{x^{2},x\} [/mm] $
Jetzt sieht man sofort das die beiden lin. unab. sind.
also dim =2
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:56 Do 29.11.2007 | | Autor: | xcase |
haste jetzt bei den span da unten einfach x² und x im Kopf ausgeklammert? anders kann ichs mir naehmlich nicht vorstellen^^ Weil wenn man ausklammert kommt ja dann ein Polynom der Form [mm] ax^{2}+bx [/mm] .
MfG Tomi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:16 Fr 30.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, Gilga hat gezeigt, dass die 3 Vektoren linear abhängig sind, weil der eine die Differenz der 2 anderen ist.
zu deinem 1. Post: es gibt 3 [mm] \lambda \ne0 [/mm] so dass die Gleichung 0 ist.
Koeffizientenvergleich heisst, du musst die [mm] x^2, [/mm] die x und falls vorkommt di Zahlen einzeln Null kriegen.
also $ [mm] \lambda_{1}x^{2} [/mm] $ + $ [mm] \lambda_{2}(x^{2}-x) [/mm] $ + $ [mm] \lambda_{3}x [/mm] $ = $ [mm] 0x^{2} [/mm] $ + $ [mm] 0(x^{2}-x) [/mm] $ + 0
folgt [mm] \lambda_1x^2+\lambda_2x^2=0x^2
[/mm]
daraus [mm] \lambda_1=-\lambda_1
[/mm]
[mm] -\lambda_2*xx+\lambda_3*x=0*x [/mm] daraus [mm] \lambda_3=\lambda_2
[/mm]
also kannst du [mm] \lambda_1=1 \lambda_2=-1,\lambda_3=-1 [/mm] nehmen und die Summe wird 0.
Hier sieht man es aber direkt, dass sie abhängig sind.
deshalb kann man 2 davon aussuchen, die dann ne Basis des Spans sind, z.Bsp x und [mm] x^2 [/mm] oder [mm] x^2 [/mm] und [mm] x^2-x
[/mm]
Gruss leduart.
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