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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Do 19.01.2006 | | Autor: | vicky |
| Aufgabe | | Seien [mm] U_{1}, U_{2} [/mm] und [mm] U_{3} [/mm] dreidimensionale Unterräume eines acht-dimensionalen Vektorraums V, wobei gelte V = [mm] U_{1}+ U_{2}+U_{3}. [/mm] Zeigen Sie: [mm] U_{1} \cap U_{2} \cap U_{3} [/mm] = {0}. |
Hallo nochmal,
hier eine weitere Frage. Wie wende ich den nun am besten die Dimensionsformel an. Ich habe in diversen Aufzeichnungen nur Beispiele mit 2 Unterräumen gefunden doch nun habe ich drei gegeben und ich bin etwas unschlüssig, wie ich das nun angehen kann. Ich weiß ja nun das V = [mm] U_{1}+ U_{2}+U_{3} [/mm] ist also dim V = dim [mm] U_{1} [/mm] + dim [mm] U_{2} [/mm] + dim [mm] U_{3} [/mm] - dim [mm] (U_{1} \cap U_{2} \cap U_{3}). [/mm] dim V ist nach Voraussetzung = 8. dim [mm] U_{1} [/mm] + dim [mm] U_{2} [/mm] + dim [mm] U_{3} [/mm] = 9 also ist dim [mm] (U_{1} \cap U_{2} \cap U_{3}) [/mm] = 1. Das ist ja auch soweit nachvollziehbar den {0} ist eindimensional oder wie kann man das sagen? Außerdem besitzen alle Unterräume den Nullvektor aber wie komme ich nun weiter.
Vielen Dank nochmal für eure Hilfe?
Gruß Vicky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 Do 19.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Vicky.
> dim V = dim $ [mm] U_{1} [/mm] $ + dim $ [mm] U_{2} [/mm] $ + dim $ [mm] U_{3} [/mm] $ - dim $ [mm] (U_{1} \cap U_{2} \cap U_{3}). [/mm] $
Das ist nicht richtig. Du kannst die dir wahrscheinlich bekannte Dimensionsformel für zwei Summanden nicht in dieser Weise auf mehrere übertragen.
Dies ist hier allerdings auch nicht nötig. Wenden wir die Dimensionsformel für zwei Summanden auf [mm] $U_1+U_2$ [/mm] und [mm] $U_3$ [/mm] an, so ergibt sich:
[mm] $9=dim(V)=dim((U_1+U_2)+U_3)=dim(U_1+U_2)+dim(U_3)-dim((U_1+U_2)\cap U_3) [/mm] = [mm] dim(U_1)+dim(U_2)+dim(U_3) [/mm] - [mm] dim((U_1+U_2)\cap U_3) [/mm] - [mm] dim(U_1\cap U_2)$, [/mm] wegen [mm] $dim(U_i)=3, [/mm] i=1,2,3$ also [mm] $dim((U_1+U_2)\cap U_3) [/mm] + [mm] dim(U_1\cap U_2)=1$. [/mm]
Nun bist du wieder dran: ist dies möglich, wenn [mm] $U_1\cap U_2\cap U_3\neq \{0\}$?
[/mm]
> Das ist ja auch soweit nachvollziehbar den {0} ist eindimensional oder wie kann man das sagen?
Nein, der triviale Raum [mm] $\{0\}$ [/mm] hat die Definition $0$.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Do 19.01.2006 | | Autor: | vicky |
Mir ist das ganze ab
... - [mm] dim((U_1+U_2)\cap U_3) [/mm] - dim [mm] (U_1\cap U_2), [/mm]
> wegen [mm]dim(U_i)=3, i=1,2,3[/mm] also [mm]dim((U_1+U_2)\cap U_3) + dim(U_1\cap U_2)=1[/mm].
noch nicht ganz klar. Warum habe ich einmal - [mm] dim((U_1+U_2)\cap U_3) [/mm] und dann nochmal - [mm] dim(U_1\cap U_2)
[/mm]
Kannst du mir bitte noch mal helfen?
Vielen Danl schon mal...
Gruß Vicky
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Do 19.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Vicky!
> Kannst du mir bitte noch mal helfen?
Klar :)
Ich schrieb:
$ [mm] 9=dim(V)=dim((U_1+U_2)+U_3)=dim(U_1+U_2)+dim(U_3)-dim((U_1+U_2)\cap U_3) [/mm] = [mm] dim(U_1)+dim(U_2)+dim(U_3) [/mm] - [mm] dim((U_1+U_2)\cap U_3) [/mm] - [mm] dim(U_1\cap U_2) [/mm] $
Im letzten Schritt habe ich erneut die Dimensionasformel für die Summe zweier Vektorräume angewandt, diesmal auf [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$; [/mm] ich habe also [mm] $dim(U_1+U_2)$ [/mm] durch [mm] $dim(U_1)+dim(U_2)-dim(U_1\cap U_2)$ [/mm] ersetzt.
Klar?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Do 19.01.2006 | | Autor: | vicky |
> Nun bist du wieder dran: ist dies möglich, wenn [mm]U_1\cap U_2\cap U_3\neq \{0\}[/mm]?
Nein ich denke nicht das dies möglich ist. Kann man nicht sagen, dass der Nullvektor Element jeden Unterraums ist und somit ist dieser immer im Schnitt von Unterräumen???
Ich habe in meinem schlauen Buch noch ein Lemma gefunden, welches aussagt: Ist V = [mm] W_{1} [/mm] + [mm] W_{2}, [/mm] so sind folgende Bedingungen äquivalent:
i.) [mm] W_{1} \cap W_{2} [/mm] = {0}.
ii.) Jedes v ist eindeutig darstellbar als v= [mm] w_{1} [/mm] + [mm] w_{2} [/mm] mit [mm] w_{1} \in W_{1}, w_{2} \in W_{2}.
[/mm]
iii.) Zwei von Null verschieden Vektoren [mm] w_{1} \in W_{1} [/mm] und [mm] w_2 \in W_{2} [/mm] sind linear unabhängig.
Könnte ich in diesem Fall dann nicht mit i.) argumentieren?
Gruß Vicky
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Do 19.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo vicky.
> Nein ich denke nicht das dies möglich ist. Kann man nicht sagen, dass der Nullvektor Element jeden Unterraums ist und somit ist dieser immer im Schnitt von Unterräumen???
Richtig, aber das zeigt nur, dass [mm] $\{0\}\subseteq U_1\cap U_2\cap U_3$, [/mm] nicht aber, dass der Schnitt nicht noch mehr Elemente beinhaltet.
Wie ich in meiner ersten Antwort schrieb, muss $ [mm] dim((U_1+U_2)\cap U_3) [/mm] + [mm] dim(U_1\cap U_2)=1 [/mm] $ gelten. Insbesondere muss ein Summand 0 sein. Wie sieht es aus, wenn [mm] $U_1\cap U_2\cap U_3\neq\{0\}$? [/mm] Wenn schon alle drei Unterräume zusammen gemeinsame Elemente besitzen, dann ja auch je zwei beliebig von ihnen ausgewählte. Also? Kann dann einer der beiden obigen Summanden [mm] $dim((U_1+U_2)\cap U_3)$,$dim(U_1\cap U_2)$ [/mm] gleich 0 sein?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Do 19.01.2006 | | Autor: | vicky |
Ja einer der beiden Summanden ist 0, und ich würde sagen [mm]dim((U_1+U_2)\cap U_3)[/mm] ist 0, den [mm] U_{1}+U_{2} [/mm] hat Elemente, die in [mm] U_{3} [/mm] nicht enthalten sind, denn die Elemente aus [mm] U_{1}+U_{2} [/mm] haben die Form von [mm] u_{1} +u_{2} [/mm] mit [mm] u_{1} \in U_{1} [/mm] und [mm] u_{2} \in U_{2}. [/mm] Das heißt der Schnitt von [mm] (U_{1}+U_{2})\cap U_{3} [/mm] hat bis auf den Nullvektor keine gemeinsamen Elemente.
Kann das sein?
Gruß Vicky
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:22 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Vicky!
Nein, das stimmt so leider nicht.
Nehmen wir einmal an es wäre [mm] $(U_1 [/mm] + [mm] U_2) \cap U_3 =\{0\}$. [/mm] Dann dürfte diese Menge keinen vom Nullvektor verschiedenen Vektor $v$ enthalten.
Andererseits gilt:
[mm] $U_1 \cap U_2 \cap U_3 \ne \{0\}$,
[/mm]
d.h. es gibt ein $v [mm] \in U_1 \cap U_2 \cap U_3$ [/mm] mit $v [mm] \ne [/mm] 0$.
Insbesondere ist: $v = v+0 [mm] \in U_1 [/mm] + [mm] U_2$ [/mm] und $v [mm] \in U_3$, [/mm] also auch:
$v [mm] \in (U_1 [/mm] + [mm] U_2) \cap U_3$,
[/mm]
Widerspruch.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:36 Fr 20.01.2006 | | Autor: | vicky |
Das kann ich soweit nachvollziehen, vielen Dank schon mal. Aber wie gehe ich das ganze nun mit der Aufgabe an.
dim [mm] (U_1 [/mm] + [mm] U_2) \cap U_3 [/mm] + dim [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] soll 1 sein. Nehme ich da eine Fallunterscheidung vor?
Danke für die Hilfe.
Gruß Vicky
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo vicky!
> dim [mm](U_1[/mm] + [mm]U_2) \cap U_3[/mm] + dim [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm] soll 1
> sein. Nehme ich da eine Fallunterscheidung vor?
Genau!
Die Gleichung kann ja nur dann erfüllt sein, wenn entweder
[mm] $(U_1 [/mm] + [mm] U_2) \cap U_3 [/mm] = [mm] \{0\}$
[/mm]
gilt oder
[mm] $U_1 \cap U_2=\{0\}$.
[/mm]
Den ersten Fall haben wir schon zum Widerspruch geführt. Den zweiten kann man noch schneller zum Widerspruch führen (kann ja nicht sein, da wir die Annahme [mm] $U_1 \cap U_2 \cap U_3 \ne \{0\}$ [/mm] getroffen hatten und dies eine Teilmenge von [mm] $U_1 \cap U_2$ [/mm] ist).
Daher kann also unsere Gleichung
$ [mm] dim((U_1 [/mm] + [mm] U_2) \cap U_3) [/mm] + dim [mm] (U_{1} \cap U_{2})=1$
[/mm]
unter der Voraussetzung [mm] $U_1 \cap U_2 \cap U_3 \ne\{0\}$ [/mm] schon nicht richtig gewesen sein.
Kommst du jetzt alleine weiter? Lies dir Hannos Artikel noch einmal durch...
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:46 Fr 20.01.2006 | | Autor: | vicky |
Ja, ich denke das sollte ich hinbekommen.
Vielen vielen Dank für eure Hilfe.
Gruß Vicky
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