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| Aufgabe | Exercise w.1.5. Define the following sets formally using predicative descriptions in a mathematical
language:
1. The set of positive integers whose cubes lie between 7 and 126.
2. The set of all integers less than 1000 which are perfect squares (a perfect square is a number that
can be expressed as k2 , where k is an integer).
3. The set of integers which are the squares of the integers lying between H and K (0 < H < K).
4. The points in the plane that lie between circles of radii 1 and 3 drawn about the origin and which
have x-coordinates greater that 0,5.
Exercise w.1.7. State the relationships (if any) between the following sets (e.g., [mm] \subset [/mm] , 2 , =).
1. A = {a, b, c} and B = {x, {a, b, c}, {y, z}}.
2. C = {{z, y}} and B.
3. {x} [mm] \subset [/mm] {A} [mm] \subset [/mm] C and B.
4. X = {1, 2, 3, 4} and Y = {5, 7, 9, 11}.
Exercise w.1.8. Let A = {t, u, v, w} and let S 1 be the set of all subsets of A that do not contain w and
S 2 the set of all subsets of A that contain w.
1. Find S 1 and S 2 .
2. Are S 1 and S 2 disjoint (i.e., S 1 \ S 2 = ; )?
3. How many elements are in S 1 and S 2 .
4. What is the relation between S 1 [ S 2 and ℘(A) (i.e., the powerset of A). |
Meine Ergebnisse lauten:
Aufgabe 1.5
1. {n | 7 < [mm] n^3 [/mm] < 126}
2. {k | [mm] k^2 [/mm] < 1000}
3. { k| 4 < [mm] k^2 [/mm] < k}
4. {x | 1 <= x <= 3}
Aufgabe 1.7
1. A [mm] \in [/mm] B
2. C [mm] \subset [/mm] B
3. ... [mm] \subset [/mm] B
4. {}
Aufgabe 1.8
1. S1 = {{}, {t}, {u}, {v}, {tu}, {tv} {tuv} {uv}}
2. S2 = wie S1 aber mit w (also insgesamt 16 Elemente
3. S1 hat [mm] 2^3 [/mm] = 8 und S2 hat [mm] 2^4 [/mm] = 16
4. S1 vereinigt S2 = P(A)
Könnte bitte jemand meine Ergebnisse überprüfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo LEFTI_UNI,
Hui, da hast du ja einige Aufgaben bekommen.
> Meine Ergebnisse lauten:
> Aufgabe 1.5
> 1. {n | 7 < [mm] n^3 [/mm] < 126}
Schreibe besser:
[mm] $\{n\in\IZ|(n > 0) \wedge (7 < n^{3}< 126)\}$
[/mm]
oder alternativ, wenn ihr [mm] $\IN [/mm] = [mm] \{1,2,3,...\}$ [/mm] gesetzt habt:
[mm] $\{n\in\N|7 < n^{3}< 126\}$
[/mm]
Denn nur weil du n vorne reinschreibst und die Variable n nennst, heißt das noch nicht notwendigerweise, dass es eine natürliche Zahl bzw. "positive integer" ist.
> 2. {k | [mm] k^2 [/mm] < 1000}
Auch hier: Du musst angeben, in welchem Zahlenbereich sich k befindet. Ohnehin ist die Menge leider noch nicht richtig, denn in der Menge stehen nicht die Basen der Zahlen, sondern die Quadratzahlen!
Du müsstest das dann so schreiben:
[mm] \{k | k = x^{2} < 1000, x\in \IZ}
[/mm]
Aber: Auch diese Menge ist noch nicht richtig, denn bis jetzt ist die Eigenschaft der "perfect squares" noch nicht eingeflossen. Aus deiner Aufgabenstellung kann ich diese Eigenschaft allerdings nicht ablesen (Irgendwie komisch aufgeschrieben), deswegen denke nochmal selbst drüber nach wie du das fehlende Kriterium einbinden kannst.
> 3. { k| 4 < [mm] k^2 [/mm] < k}
Mmh. Irgendwie passt diese Menge gar nicht zur Aufgabe?
Richtig wäre:
[mm] \{z\in\IZ|(z = y^{2})\wedge (H < y < K), y\in\IZ\}
[/mm]
> 4. {x | 1 <= x <= 3}
Als du das aufgeschrieben hast, musst du dir doch selbst im Klaren darüber gewesen sein, dass das nicht richtig sein kann, oder?
Hierzu erstmal nur eine Hilfestellung:
Ein Kreisgleichung um den Ursprung hat die [mm] $x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] = [mm] r^{2}$. [/mm] Damit kannst du also die Menge aller Punkte (x,y) beschreiben, die auf dem Kreisring um den Ursprung mit Radius r liegen. Wenn du in der Gleichung [mm] \le [/mm] schreibst, sind auch alle Punkte im Kreis mit eingeschlossen.
> Aufgabe 1.7
> 1. A [mm]\in[/mm] B
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. C [mm]\subset[/mm] B
> 3. ... [mm] \subset [/mm] B
Was meinst du damit? Ich möchte gleich zugeben, dass ich mit der Aufgabenstellung herzlich wenig anfangen kann, wenn wenn A das A von der oberen Aufgabe ist, ist, dann ist es nicht Teilmenge der oberen Menge C, was aber behauptet wird...
Steht das wirklich so da?
Du könntest schreiben [mm] \{A\} \in [/mm] B ...
> 4. {}
Du könntest schreiben [mm] X\not= [/mm] Y oder so, weil nur {} hinzuschreiben finde ich etwas komisch.
> Aufgabe 1.8
> 1. S1 = {{}, {t}, {u}, {v}, {tu}, {tv} {tuv} {uv}}
> 2. S2 = wie S1 aber mit w (also insgesamt 16 Elemente)
Achtung: Jede Menge, die in S2 ist, muss w enthalten!!!
Also ist zum Beispiel die leere Menge oder die Menge nur mit t drin nicht in S2, weil sie nicht w enthalten.
> 3. S1 hat [mm]2^3[/mm] = 8 und S2 hat [mm]2^4[/mm] = 16
Mächtigkeit von S1 stimmt, S2 musst du nochmal neu aufstellen.
> 4. S1 vereinigt S2 = P(A)
Grüße,
Stefan
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| Aufgabe | 1.5.
4) Liegen die Punkte nicht zwischen den Kreisen mit den Radien 1 und 3? Deswegen würde ich folgendes schreiben: {r [mm] \in [/mm] R| 1 [mm] \le \wurzel {(x^2+y^2)} \le [/mm] 3 [mm] \wedge [/mm] r [mm] \ge [/mm] 0,5}
1.7.
3) Ich habe die Aufgabe Nr. 3 nochmals durchdacht: mein neues Ergebnis lautet {x} [mm] \cup [/mm] {A} [mm] \cup [/mm] {C} = B; da die Vereinigung aller Teilmengen letzten Endes mit B äquivalent sind
1.8.
3. Mein Ergebnis lautet für |S2| = [mm] 2^3 [/mm] = 8
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Zunächst einmal vielen Dank für die schnelle und ausführliche Bearbeitung. Könntest du bitte noch meine neuen Resultate prüfen.
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Hallo LEFTI_UNI,
> 1.5.
> 4) Liegen die Punkte nicht zwischen den Kreisen mit den
> Radien 1 und 3? Deswegen würde ich folgendes schreiben: {r
> [mm] \in [/mm] R| 1 [mm] \le \wurzel {(x^2+y^2)} \le [/mm] 3 [mm] \wedge [/mm] r [mm] \ge [/mm] 0,5}
Das sieht jetzt schonmal besser aus (mehr nach Kreis  ).
Allerdings hast du noch einiges in der Menge durcheinander geworfen. Lies dir nochmal die Aufgabenstellung durch:
"The points in the plane that lie between circles of radii 1 and 3 drawn about the origin and which have x-coordinates greater that 0,5. "
Deine Menge soll also die Menge aller Punkte sein, welche die Bedingungen erfüllen! Im Moment sind in deiner Menge aber nur Zahlen enthalten, und außerdem ist unklar, was x und y für eine Rolle spielen. Du musst so beginnen:
[mm] \{(x,y)\in\IR^{2}|...\}
[/mm]
Nun musst du die Bedingung mit den Kreisen einarbeiten, das war oben soweit richtig:
[mm] \{(x,y)\in\IR^{2}| (1 \le \sqrt{x^{2}+y^{2}} < 3)\wedge (...)\}
[/mm]
So, und nun sollen die x-Koordinaten der Punkte aber noch größer als 0.5 sein. Das arbeitest du jetzt mal noch an die Stelle der Punkte ... ein.
> 1.7.
> 3) Ich habe die Aufgabe Nr. 3 nochmals durchdacht: mein
> neues Ergebnis lautet {x} [mm]\cup[/mm] {A} [mm]\cup[/mm] {C} = B; da die
> Vereinigung aller Teilmengen letzten Endes mit B
> äquivalent sind
Hier ist mir immer noch nicht ganz klar, wie eigentlich die Aufgabenstellung lautet? Du hast sie ja jetzt plötzlich umformuliert... Was genau ist gefordert, hinzuschreiben?
Abgesehen davon, ist
[mm] $\{x\} \cup \{A\} \cup \{C\} [/mm] = B$
noch nicht ganz richtig. Schau' dir mal die Menge C an, und überlege, ob sie wirklich so wie du oben geschrieben hast eingebunden werden muss. (Es sind zwei Zeichen falsch )
> 1.8.
> 3. Mein Ergebnis lautet für |S2| = [mm]2^3[/mm] = 8
Genau, denn es ist
$S2 = [mm] \{\{w\},\{w,t\},\{w,u\},\{w,v\},\{w,t,u\},\{w,t,v\},\{w,u,v\},\{w,t,u,v\} \}$
[/mm]
Grüße,
Stefan
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