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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 So 27.05.2007 | | Autor: | Leader |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die durch
f(x) = [mm] f(n)=\begin{cases} -1, & \mbox{falls } x \mbox{ rational} \\ \bruch{1}{x^2}, & \mbox{falls } x \mbox{ irrational} \end{cases}
[/mm]
definierte Funktion für kein x [mm] \in [/mm] R einen Grenzwert besitzt. |
Hallo,
wie kann ich bei der obigen Aufgabe vorgehen? Es ist zwar "offensichtlich", ich weiß nur noch nicht ganz, wie man es mathematisch sinnvoll und korrekt beweist (bzw. ausdrückt).
Mein erster Gedanke war folgender: Angenommen die Funktion strebt gegen einen beliebigen Wert c. Dann liegen zwischen dem c und der sich annähernden Funktion unendlich viele rationale und irrationale Werte, das heißt, egal wie nah sich die Funktion dem c annähert, sie schwankt weiterhin zwischen -1 und [mm] 1/x^2. [/mm]
Da sich [mm] 1/x^2 [/mm] auch stets ändert, ist es auch keine alternierende Funktion (etwa wie bei Sinus), es gibt also keinen Grenzwert.
Hat jemand aber vielleicht eine bessere Idee? Ich denke es klingt sehr schwammig, wenn man es so aufschreibt. Vielleicht kann man es ja auch "mathematischer" beweisen.
Freundliche Grüße,
Leader.
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Hallo,
versuch doch mit der Definition von Differenzierbarkeit zu arbeiten. Nimm dir ne Folge [mm] (x_{n}), [/mm] die gegen a verläuft. Was kannst du denn jetzt für die Bildfolge [mm] f(x_{n}) [/mm] sagen (nimm deine Überlegungen als Argumentation).
Hoffe du kommst so weiter.
Gruß, KommissarLachs
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Ich finde die Aufgabenstellung etwas ungluecklich formuliert. Gemeint ist wohl, dass $f$ nirgends stetig ist. Hier kommt es naemlich nicht nur darauf an, dass es fuer eine gewisse Folge einen Grenzwert gibt oder nicht, sondern fuer alle Folgen. Deine Begruendung scheint mir dabei nicht ganz praezise. Du musst zwischen Funktionswerten einerseits und den Inkrementen andererseits trennen. Ich gebe dir einen Tipp, wie du die Unstetigkeit nachweisen kannst:
Zeige erstens fuer rationale $x$ (und dann fuer irrationale, aber die Argumentation ist analog), dass es zwei Folgen [mm] $(x_n), (y_n)$ [/mm] gibt mit [mm] $x_n\rightarrow [/mm] x$, [mm] $y_n\rightarrow [/mm] x$ und [mm] $f(x_n)\rightarrow [/mm] -1$ und [mm] $\vert f(y_n) [/mm] + [mm] 1\vert\geq [/mm] 1$ fuer alle [mm] $n\in\IN$. [/mm] Natuerlich musst du hier benutzen, dass [mm] $\IQ$ [/mm] dicht [mm] $\IR$ [/mm] liegt.
LG Kornfeld
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