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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:34 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Basser92 |
| Aufgabe | Gegeben ist die [mm] 3\times [/mm] 3 Matrix [mm] A=\pmat{ 2a & a & 0 \\ a & 2a & a \\ 0 & a & 2a } [/mm] mit einer reellen positiven Konstandten a.
a) Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix A
b) Berechnen Sie die (normierten) Eigenvektoren und überzeugen Sie sich davon, dass sie paarweise orthogonal sind. |
Die Eigenwerte sind relativ leicht zu berechnen:
[mm] det(A-\lambda [/mm] E)=0
[mm] det\pmat{ 2a-\lambda & a & 0 \\ a & 2a-\lambda & a \\ 0 & a & 2a-\lambda }=(2a-\lambda)^{3}-2a^{2}(2a-\lambda)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_{1}=2a, \lambda_{2}=2a+\wurzel{2}a, \lambda_{3}=2a-\wurzel{2}a
[/mm]
Der erste Eigenvektor ist noch schnell ausgerechnet, aber bei den anderen beiden hab ich dann ein kleines Problem:
EV für [mm] \lambda_{1}=2a
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & a & 0 \\ a & 0 & a \\ 0 & a & 0 }*\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{ay \\ ax+az \\ ay}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] y=0, x=-z
[mm] \Rightarrow \vec{x_{1}}=\vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ 0 \\ -\bruch{1}{\wurzel{2}}}
[/mm]
EV für [mm] \lambda_{2}=2a-\wurzel{2}a
[/mm]
[mm] \pmat{ -\wurzel{2}a & a & 0 \\ a & -\wurzel{2}a & a \\ 0 & a & -\wurzel{2}a }*\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{ay-\wurzel{2}ax \\ ax+az-\wurzel{2}ay \\ ay-\wurzel{2}az}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Daraus folgt das Gleichungssystem:
I) [mm] ay-\wurzel{2}ax=0
[/mm]
II) [mm] ax+az-\wurzel{2}ay=0
[/mm]
III) [mm] ay-\wurzel{2}az=0
[/mm]
Aus I) folgt [mm] y=\wurzel{2}x
[/mm]
I) in II) ergibt dann x=z [mm] \Rightarrow y=\wurzel{2}z
[/mm]
Das in III) eingesetzt ergibt eine wahre Aussage (0=0)
Kann ich die Parameter jetzt einfach wählen wie ich will? z.B. x=z=1, [mm] y=\wurzel{2}
[/mm]
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Hallo Basser92,
> Gegeben ist die [mm]3\times[/mm] 3 Matrix [mm]A=\pmat{ 2a & a & 0 \\
a & 2a & a \\
0 & a & 2a }[/mm]
> mit einer reellen positiven Konstandten a.
> a) Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix A
> b) Berechnen Sie die (normierten) Eigenvektoren und
> überzeugen Sie sich davon, dass sie paarweise orthogonal
> sind.
>
> Die Eigenwerte sind relativ leicht zu berechnen:
> [mm]det(A-\lambda[/mm] E)=0
> [mm]det\pmat{ 2a-\lambda & a & 0 \\
a & 2a-\lambda & a \\
0 & a & 2a-\lambda }=(2a-\lambda)^{3}-2a^{2}(2a-\lambda)=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lambda_{1}=2a, \lambda_{2}=2a+\wurzel{2}a, \lambda_{3}=2a-\wurzel{2}a[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Der erste Eigenvektor ist noch schnell ausgerechnet, aber
> bei den anderen beiden hab ich dann ein kleines Problem:
>
> EV für [mm]\lambda_{1}=2a[/mm]
> [mm]\pmat{ 0 & a & 0 \\
a & 0 & a \\
0 & a & 0 }*\vektor{x \\
y \\
z}=\vektor{ay \\
ax+az \\
ay}=\vektor{0 \\
0 \\
0}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] y=0, x=-z
> [mm]\Rightarrow \vec{x_{1}}=\vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\
0 \\
-\bruch{1}{\wurzel{2}}}[/mm]
>
> EV für [mm]\lambda_{2}=2a-\wurzel{2}a[/mm]
Für [mm]\lambda_2=2a\red +\sqrt 2a[/mm] ...
> [mm]\pmat{ -\wurzel{2}a & a & 0 \\
a & -\wurzel{2}a & a \\
0 & a & -\wurzel{2}a }*\vektor{x \\
y \\
z}=\vektor{ay-\wurzel{2}ax \\
ax+az-\wurzel{2}ay \\
ay-\wurzel{2}az}=\vektor{0 \\
0 \\
0}[/mm]
>
> Daraus folgt das Gleichungssystem:
> I) [mm]ay-\wurzel{2}ax=0[/mm]
> II) [mm]ax+az-\wurzel{2}ay=0[/mm]
> III) [mm]ay-\wurzel{2}az=0[/mm]
>
> Aus I) folgt [mm]y=\wurzel{2}x[/mm]
> I) in II) ergibt dann x=z [mm]\Rightarrow y=\wurzel{2}z[/mm]
> Das
> in III) eingesetzt ergibt eine wahre Aussage (0=0)
>
> Kann ich die Parameter jetzt einfach wählen wie ich will?
> z.B. x=z=1, [mm]y=\wurzel{2}[/mm]
Jo, das ist ein passender Eigenvektor zum Eigenwert [mm]\lambda_2[/mm]
Ich würde aber generell in Matrixform rechnen, also ohne das Gleichungssystem auszuschreiben.
Berechne den Kern von [mm]A-\lambda_i\cdot{}\mathbb{E}_3[/mm]
[mm]A-\lambda_2\mathbb E_3=\pmat{-\sqrt 2a&a&0\\
a&-\sqrt 2a&a\\
0&a&-\sqrt 2a}[/mm]
Das bringe mit Gauß in ZSF, beginne damit, Zeile 1 auf das [mm]\sqrt 2[/mm]-fache von Zeile 2 zu addieren.
In ZSF ergibt sich:
[mm]\pmat{-\sqrt 2a&a&0\\
0&-a&\sqrt 2a\\
0&0&0}[/mm]
Da siehst du, dass du [mm]z=t, t\in\IR[/mm] frei wählen kannst und dann durch Rückwärtseinsetzen [mm]y,x[/mm] berechnen kannst.
Mit der speziellen Wahl [mm]z=t=1[/mm] kommst du dann auf deine Werte.
Allerdings musst du noch normieren ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Basser92 |
Danke für die Hilfe :)
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