Eigenwert < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Do 31.01.2013 | | Autor: | love |
Hallo Leute, ich brauche Hilfe:)
Die Matrix A= 0 0 [mm] -h^2
[/mm]
1 0 [mm] h^2
[/mm]
0 1 1
Berechnen Sie das charakteristische Polynom und alle Eigenwerte von A.
Bei mir kommt nur einen Ew raus undzwar 0 stimmt das dieses h bringt mich durcheinander..
Vielen Dank :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:03 Do 31.01.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
nein, das stimmt nicht.
Bestimme das charakteristische Polynom wie immer. Dabai musst du h als eine bestimmte feste Zahl ansehen (als ob dort [mm] \pi [/mm] stehen würde).
Du erhälst ein Polynom dritten Grades, von dem du eine Nullstelle raten kannst und die beiden anderen (es gibt tatsächlich drei verschiedene für h [mm] \not= [/mm] 0) nach Polynomdivision durch Anwenden der p-q-Formel berechnest (oder du rätst gleich alle drei).
Gruß Sax.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:15 Do 31.01.2013 | | Autor: | love |
Danke schönn erst mal ich habe jetzt nochmal versucht und das charakteristische polynom ausgerechnet und dann kam da
[mm] -z^3+z^2+(z-1)h^2 [/mm] raus.. Hab dann Polynomdivision durchgeführt und hab jetzt als Eigenwert 1 raus, stimmt das jetzt:( Ich glaub, dass ist schon wieder falsch,weil pq-Formel kann ich nicht anwenden,da bei der Polynomdivison als Ergebnis [mm] -z^2+h^2 [/mm] raus,weiss jetzt nicht was p und q sind
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Do 31.01.2013 | | Autor: | love |
Kann es vielleicht sein,dass die Eigenwerte 1, h und -h sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Do 31.01.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Eigenwerte sind richtig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 Do 31.01.2013 | | Autor: | love |
vielen Dank:)
Dann muss ich noch zeigen für h aus nicht -1,0,1 diagonalisierbar und für h aus -1,0,1 nicht diagonalisierbar.. Wie soll ich das machen? _HAb ne Idee ich setze einfach für h die Zahlen ein und berechne die EW und zu den Ew´s die EV und wenn die Anzahl der EW und EV gleich sind dann diagonalisierbar oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Do 31.01.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
wie sehen denn die Eigenvektoren aus?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Do 31.01.2013 | | Autor: | love |
für den EW 1: (1,1,1) und für -1:(1,2,1) :( bin unsicher:(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:02 Do 31.01.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
nein ganz allgemein. Also wie lauten die EW in Abhängigkeit von h.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 Do 31.01.2013 | | Autor: | love |
die Eigenwerte sind 1,-1 und 0?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:14 Do 31.01.2013 | | Autor: | ullim |
Sorry, ich meinte, wie sehen die Eigenvektoren in Abhängigkeit von h aus?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 Do 31.01.2013 | | Autor: | love |
ich war auch verwirrt :D also ich hab als Eigenvektor (1,1,1) für 0,1,und -1
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Do 31.01.2013 | | Autor: | love |
Bringt das mich jetzt weiter,wenn immer der gleiche Eigenvektor rauskommt?
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> Bringt das mich jetzt weiter,wenn immer der gleiche
> Eigenvektor rauskommt?
Hallo,
ja, das bringt Dich enorm vorwärts!
Wenn für verschiedene Eigenwerte immer derselbe Eigenvektor herauskommt, kannst Du sicher sein, daß Du irgendwas falsch gemacht hast.
Was, das können wir nicht wissen, weil wir von Deiner Rechnung nichts sehen.
Mir ist überhaupt nicht recht klar, für welches h Du die Aufgabe gerade bearbeitest - und ich fürchte ein wenig, daß es Dir ebenfalls unklar ist.
Nur mal so: wie lautet die Matrix für h=5, welches sind ihre Eigenwerte?
Fassen wir nochmal kurz zusammen:
Du hast die Matrix [mm] A=\pmat{0&0&-h^2//1&0&h^2// 0&1&1}.
[/mm]
Du hast berechnet, daß das charakteristische Polynom [mm] \chi_A(t)=(1-t)(h-t)(-h-t), [/mm] daß die Eigenwerte 1,h,-h sind.
Jetzt ist zu zeigen:
1. Für [mm] h\not\in [/mm] {0,1,-1} ist die Matrix diagonalisierbar.
2. Für [mm] h\in [/mm] {0,1,-1} ist die Matrix nicht diagonalisierbar.
zu 1.
Sei also [mm] h\not\in [/mm] {0,1,-1}.
Es gibt hier drei Möglichkeiten, wie Du vorgehen kannst:
a.
Du erkennst, daß in diesem Fall alle Eigenwerte verschieden sind und
kennst und verwendest den Satz, der Dir etwas erzählt über [mm] n\times [/mm] n Matrizen, deren Eigenwerte allesamt verschieden sind.
b.
Du berechnest eine je Basis der Eigenräume zu den Eigenvektoren und stellst fest, ob die algebraische Vielfachheit des jeweiligen Eigenwertes gleich der geometrischen ist.
c.
Du berechnest eine je Basis der Eigenräume zu den Eigenvektoren und stellst fest, ob es eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] gibt, welche aus Eigenvektoren besteht.
zu 2.
für [mm] h\in [/mm] {0,1,-1} ist es vielleicht für Dich am übersichtlichsten, wenn Du Dir einfach nacheinander die drei Matrizen und ihre Eigenwerte hinschreibst, die Dimensionen der Eigenräume berechnest und mit der Vielfachheit der Eigenwerte in charakteristischen Polynom vergleichst.
So, eigentlich solltest Du jetzt handlungsfähig sein.
Rüchfragen bitte so, daß eindeutig zu erkennen ist, welche Teilaufgabe Du gerade bearbeitest, und wie Du das tust.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Fr 01.02.2013 | | Autor: | love |
erstmal vielen Dank:)
zu 2) ich habe jetzt für h=0 einen EW raus der ist 0 und dim 1
für h=1 habe ich drei EIgenwerte 1 mit vielfachheit 2 und -1 und dim 1
für h=-1 wie für h=1.. Dann hätte ich jetzt noch geschrieben für h aus 1,-1,und o nicht diagonalisierbar,da zB die dimension mit der Anzahl der EW nicht übereinstimmt stimmts?
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Hallo love,
> erstmal vielen Dank:)
> zu 2) ich habe jetzt für h=0 einen EW raus der ist 0 und
> dim 1
Was für eine Dimension?
Rechnung????????????
Ich erhalte 0 als doppelten Eigenwert und 1 als einfachen Eigenwert.
Ich wiederhole Angelas Predigt: Zeige deine Rechnung! Es ist nicht Sinn der Sache, dass wir hier alles nochmal selber nachrechnen. Wozu auch?
Das ist deine Aufgabe; wenn du also Kontrolle willst, zeige deine Rechnung!
> für h=1 habe ich drei EIgenwerte 1 mit vielfachheit 2 und
> -1
Wie kann eine Vielfachheit negativ sein?
Ah, ich orakle mir den Sinn dieses "Satzes" so: Du hast 3 Eigenwerte: einer ist 1 mit VFH 2 (also ein doppelter EW) und der dritte -1 mit VFH 1 - so stimmt's!
> und dim 1
Was für eine Dimension? Ein Eigenwert hat keine Dimension ...
> für h=-1 wie für h=1.. Dann hätte ich jetzt noch
> geschrieben für h aus 1,-1,und o nicht diagonalisierbar,da
> zB die dimension mit der Anzahl der EW nicht übereinstimmt
> stimmts?
Ich sehe noch keinen der von dir zu den jeweiligen Eigenwerten berechneten bzw. zu berechnenden Eigenräume (meinst du mit "dim" deren Dimension?)
Also bitte etwas ausführlicher, in verständlichen Sätzen und mit einer gehörigen Portion Rechnung noch einmal.
Danke und Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Fr 01.02.2013 | | Autor: | love |
also jetzt noch einmal :)
ich habe zunächst erstmal für h 0 eingesetzt und das charakteristische Polynom ausgerechnet dann kam da [mm] z^2-z^3 [/mm] raus also ist doch mein EW 0. So dann habe ich diese Null für z immer eingesetzt (000//100//010//) kam da raus jetzt kann ich doch EV berechnen der ist (1,1,1,) und dim des ER zum EW ist 1, weil ich dachte Anzahl Spalten-Rang =dim des Kerns..sind meine Schritte falsch und als ich für h=1 eingesetzt hab kam da als charakteristisches Polynom [mm] -z^3+z^2+z-1 [/mm] raus und habe dann duch Polynomdivision und pq-Formel die Nullstellen bzw EW bestimmt die lauten dann 1 und -1..Ich weis nicht wo jetzt mein Fehler ist:(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Fr 01.02.2013 | | Autor: | love |
also gegeben war ja meine Matrix (0 0 [mm] -h^2//1 [/mm] 0 [mm] h^2//0 [/mm] 1 1 )
Für h=0 (0 0 0 // 1 0 0 //0 1 1)) jetzt charakteristisches Polynom (-z 0 0 //1 -z 0// 0 1 1-z)) sooo dann -z det(-z 0 // 1 1-z))-det ( 0 0 // 1 1-z)) dann hab ich multipliziert usw kam da [mm] z^2-z^3 [/mm] raus also hab ich nur einen EW der ist 0.. soo und jetzt habe ich für z=0 oben in die Matrix eingesetzt: (0 0 0 // 1 0 0 // 0 1 0)) dim 1 weil ich dachte 3- Rang=dim
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Hallo nochmal,
siehe die andere Antwort:
> also gegeben war ja meine Matrix (0 0 [mm]-h^2//1[/mm] 0 [mm]h^2//0[/mm] 1 1
> )
> Für h=0 (0 0 0 // 1 0 0 //0 1 1)) jetzt
> charakteristisches Polynom (-z 0 0 //1 -z 0// 0 1 1-z))
> sooo dann -z det(-z 0 // 1 1-z))-det ( 0 0 // 1 1-z))
> dann hab ich multipliziert usw
Vieeeel schneller mit Sarrus 
> kam da [mm]z^2-z^3[/mm] raus also hab
> ich nur einen EW der ist 0.. soo und jetzt habe ich für
> z=0 oben in die Matrix eingesetzt: (0 0 0 // 1 0 0 // 0 1
> 0)) dim 1 weil ich dachte 3- Rang=dim
Dazu siehe die andere Antwort ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
> also jetzt noch einmal :)
> ich habe zunächst erstmal für h 0 eingesetzt und das
> charakteristische Polynom ausgerechnet dann kam da [mm]z^2-z^3[/mm]
> raus ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") also ist doch mein EW 0.
Na, aber nicht nur, es ist doch [mm] $z^2-z^3=z^2\cdot{}(1-z)$ [/mm] und das ist $=0$, wenn $z=0$ oder $1-z=0$ ist.
Es ist also $z=0$ doppelter Eigenwert (EW mit VFH 2) und $z=1$ EW mit VFH 1
> So dann habe ich diese Null
> für z immer eingesetzt (000//100//010//)
Da muss eine 1 hin ...
> kam da raus jetzt
> kann ich doch EV berechnen der ist (1,1,1,) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> und dim des ER
> zum EW ist 1,
Das ist richtig, auch wenn der EV falsch ist ...
Also ist für den EW $z=0$ die algebr. VFH = 2 [mm] $\neq$ [/mm] geometr. VFH (=Dimension des zu $z=0$ gehörigen Eigenraumes)
Das macht dir die Diagonalisierbarkeit kaputt
> weil ich dachte Anzahl Spalten-Rang =dim des
> Kerns..sind meine Schritte falsch und als ich für h=1
> eingesetzt hab kam da als charakteristisches Polynom
> [mm]-z^3+z^2+z-1[/mm] raus und habe dann duch Polynomdivision und
> pq-Formel die Nullstellen bzw EW bestimmt die lauten dann 1
> und -1..Ich weis nicht wo jetzt mein Fehler ist:(
Jo, es ist [mm] $(-z^3+z^2+z-1)=-(z-1)^2\cdot{}(z+1)$
[/mm]
Also $z=1$ doppelter EW (also alg. VFH =2) und $z=-1$ einfacher EW (also algebr. VFH =1)
Wie sieht der Eigenraum zu $z=1$ aus? Welche Dimension hat er?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Fr 01.02.2013 | | Autor: | love |
du bist echt eine Rettung danke jetzt weis ich wo mein Fehler war:)
zu 1: für h=0 sind die Eigenwerte z=0 mit VFH 2 und z=1 mit VFH 1
da alg.ungleich geom nicht diagonalisierbar aber wenn ich das jetzt für z=1 mache alg VFH1=geom=1 dann heißt das doch wiederum diag.
zu 2: für h=1 sind die Eigenwerte 1 mit VFH 2 und -1 mit VFH 1,
wenn ich jetzt 1 in die Matrix einsetze kommt da dim (1) raus geom Vielfachheit ungleich algebraische VFH also nicht diag.:)
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Hallo nochmal,
ich muss ehrlich gestehen, dass es mir nicht leicht fällt, deine Sätze zu lesen.
Versuche doch bitte, etwas strukturierter zu schreiben ...
> du bist echt eine Rettung danke jetzt weis ich wo mein
> Fehler war:)
> zu 1: für h=0 sind die Eigenwerte z=0 mit VFH 2 und z=1
> mit VFH 1
> da alg.ungleich geom nicht diagonalisierbar aber wenn ich
> das jetzt für z=1 mache alg VFH1=geom=1 dann heißt das
> doch wiederum diag.
Nein, es muss für JEDEN Eigenwert gelten alg. VFH = geom. VFH.
Das tut es aber schon für den einen, nämlich $z=0$ nicht.
Also nicht diagonalisierbar!
> zu 2: für h=1 sind die Eigenwerte 1 mit VFH 2 und -1 mit
> VFH 1,
> wenn ich jetzt 1 in die Matrix einsetze kommt da dim (1)
> raus geom Vielfachheit ungleich algebraische VFH also nicht
> diag.:)
Jo, wenn das rauskommt, ist deine Interpretation richtig!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Fr 01.02.2013 | | Autor: | love |
Tut mir leid demnächst werde ich alles ausführlicher schreiben..Ich wollte mich beeilen,deshalb habe ich mich so ausgedrückt:(
diese Teilaufgabe habe ich jetzt verstanden aber ich muss noch diese Aussage beweisen
1. Für $ [mm] h\not\in [/mm] $ {0,1,-1} ist die Matrix diagonalisierbar.
wie soll ich das denn zeigen.Angela hatte mir den Tipp gegeben
(Du erkennst, daß in diesem Fall alle Eigenwerte verschieden sind und
kennst und verwendest den Satz, der Dir etwas erzählt über $ [mm] n\times [/mm] $ n Matrizen, deren Eigenwerte allesamt verschieden sind. )
für welche h muss ich denn jetzt EW berechnen und welcher Satz ist hiermit gemeint..
Ich kenne nur zwei Diagkriterien 1. geom VFH=algeb. 2.wenn es zBdrei EW existieren müssen auch drei Eigenvektoren ex,die lin.unabhg sind
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Hallo nochmal,
> Tut mir leid demnächst werde ich alles ausführlicher
> schreiben..Ich wollte mich beeilen,deshalb habe ich mich so
> ausgedrückt:(
> diese Teilaufgabe habe ich jetzt verstanden aber ich muss
> noch diese Aussage beweisen
> 1. Für [mm]h\not\in[/mm] {0,1,-1} ist die Matrix diagonalisierbar.
> wie soll ich das denn zeigen.Angela hatte mir den Tipp
> gegeben
> (Du erkennst, daß in diesem Fall alle Eigenwerte
> verschieden sind und
> kennst und verwendest den Satz, der Dir etwas erzählt
> über [mm]n\times[/mm] n Matrizen, deren Eigenwerte allesamt
> verschieden sind. )
> für welche h muss ich denn jetzt EW berechnen und welcher
> Satz ist hiermit gemeint..
> Ich kenne nur zwei Diagkriterien 1. geom VFH=algeb.
Aha, wie sieht es denn damit aus?
Welchen Zusammenhang zwischen algebr. und geometr. VFH kennst du denn?
Die geometr. ist immer ... der algebr. und mindestens ...
Damit hast du es schon ..
Es gibt auch diesen Satz, der was dazu sagt, wenn das char. Polynom vollst. in Linearfaktoren zerfällt (und kein Linearfaktor mehrfach vorkommt)
> 2.wenn
> es zBdrei EW existieren müssen auch drei Eigenvektoren
> ex,die lin.unabhg sind
Wieso das?
Was ist mit unserem Fall [mm]h=0[/mm]? Da gab es drei Eigenwerte [mm]t_{1,2}=0, t_3=1[/mm] ...
Aber eine Basis aus EVen hatten wir nicht ... wir hatten keine Diagonalisierbarkeit ...
Ansonsten hilft nur eines: brutales Ausrechnen der Basis aus EVen ...
Das ist eine gute Übung, du könntest das mal machen, auch wenn es nicht der eleganteste Weg ist
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:45 Fr 01.02.2013 | | Autor: | love |
Erstmal vielen Dank für deine Mühe und Geduld.
ICh komme leider nicht weiterund höre mit der Aufgabe auf trotzdem nochmal danke schönes WE
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 So 10.02.2013 | | Autor: | love |
[mm] \pmat{ 0 & 0 & -h^2 \\ 1 & 0 & h^2 \\ 0 & 1 & 1}
[/mm]
Hallo LEute...zeige für h aus ohne -1, 0 , 1 diagonalisierbar.
für h aus -1,0,1 nicht diagonalisierbar habe ich schon gezeigt aber die andere richtung krieg ich nicht könnt Ihr mir helfen
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> [mm]\pmat{ 0 & 0 & -h^2 \\
1 & 0 & h^2 \\
0 & 1 & 1}[/mm]
> Hallo
> LEute...zeige für h aus ohne -1, 0 , 1 diagonalisierbar.
> für h aus -1,0,1 nicht diagonalisierbar habe ich schon
> gezeigt aber die andere richtung krieg ich nicht könnt Ihr
> mir helfen
Hallo,
ganz gelungen wäre es, wenn Du die Aufgabe so präsentieren würdest, daß man sie einfach lesen kann und sie sich nicht zusammenreimen muß.
Du willst also zeigen:
für [mm] h\in \IR \setminus \{-1, 0, 1} [/mm] ist die obige Matrix diagonalisierbar.
Wie lauten denn die Eigenwerte der Matrix?
Sind sie für [mm] h\in \IR \setminus \{-1, 0, 1} [/mm] gleich oder verschieden?
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 So 10.02.2013 | | Autor: | love |
Hallo..
die Eigenwerte von der Matrix lauten h -h und 1..aber ich weis nicht wie ich die EW von h ohne -1,1,0 rechnen soll..für h\ -1,0,1 sind die eigenwerte doch die gleichen oder nicht
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> Hallo..
> die Eigenwerte von der Matrix lauten h -h und 1..aber ich
> weis nicht wie ich die EW von h ohne -1,1,0 rechnen
> soll..
Hallo,
na, dann machen wir mal ein Experiment:
für h=5 haben wir die Eigenwerte [mm] \lambda_1=5, \lambda_2=-5, \lambda_3=1,
[/mm]
für h=-13 haben wir die Eigenwerte [mm] \lambda_1=-13, \lambda_2=13, \lambda_3=1,
[/mm]
und ich denke, wir können mal festhalten, daß für [mm] h\not=1,-1,0 [/mm] die drei Eigenwerte paarweise verschieden sind.
Die [mm] 3\times [/mm] 3-Matrix hat also pw 3 verschiedene Eigenwerte.
Nun sollte ein Satz aus der Vorlesung weiterhelfen.
> für h\ -1,0,1 sind die eigenwerte doch die gleichen
> oder nicht
???
Ich weiß nicht genau, was Du meinst.
Welche EWe hat man für h=0,
welche EWe hat man für h=1,
welche EWe hat man für h=0?
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 So 10.02.2013 | | Autor: | love |
in der Übung meinte man wenn drei verschieden Eigenwerte ex. so ist die matrix diagonalisierbar.. kann ich dann einfach diesen satz hinschreiben oder muss ich noch die entsprechenden eigenvektoren berechnen
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> in der Übung meinte man wenn drei verschieden Eigenwerte
> ex. so ist die matrix diagonalisierbar.. kann ich dann
> einfach diesen satz hinschreiben oder muss ich noch die
> entsprechenden eigenvektoren berechnen
Hallo,
Du kannst Dich einfach auf den Satz beziehen und mußt nichts weiter rechnen.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 So 10.02.2013 | | Autor: | love |
danke schönn:))
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