Eigenwerte inverse Abbildung < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 So 23.03.2014 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe | | Ist [mm] \lambda [/mm] Eigenwert des invertierbaren linearen Operators T, dann ist [mm] \lambda^-1 [/mm] Eigenwert von T^-1! |
Okay!
Ich weiß, dass falls beispielsweise [mm] \lambda [/mm] der Eigenwert einer invertierbaren Matrix A ist folgendes gilt:
A*v= [mm] \lambda* [/mm] v [mm] \Rightarrow A^{-1} [/mm] * A * v = [mm] \lambda [/mm] * [mm] A^{-1} [/mm] * v [mm] \Rightarrow [/mm] v = [mm] \lambda [/mm] * [mm] A^{-1} [/mm] * v [mm] \Rightarrow (1/\lambda) [/mm] * v = [mm] \lambda^{-1} [/mm] * v = [mm] A^{-1} [/mm] * v
Also wäre [mm] \lambda^{-1} [/mm] EW von [mm] A^{-1}!
[/mm]
Doch wie gehe ich nun bei einem linearen Operator vor?
Kann ich einfach annehmen, dass es eine Basis [mm] \beta [/mm] gibt, für die [mm] [T]_\beta [/mm] * v = [mm] \lambda [/mm] * v?
Weil da T invertierbar ist wäre dann auch [mm] [T]_\beta [/mm] invertierbar und ich könnte einfach obiges Schema anwenden!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 So 23.03.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Basen brauchst du dir eigentlich gar nicht angucken. [mm] \lambda [/mm] ist Eigenwert von T [mm] $\Rightarrow \exists [/mm] v: [mm] T(v)=\lambda [/mm] v$. Ferner ist [mm] $\lambda \not= [/mm] 0$ (warum?). Dann kannst wie gehabt fortfahren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 So 23.03.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Okay, nach deiner Vorgehensweise müsste ich den beweis folgend führen:
sei T(v) = [mm] \lambda [/mm] * v
Sei nun [mm] T^{-1} [/mm] die inverse Abbildung zu T
Also muss ja (nach def der inversen Abbildung) [mm] T^{-1}\circ [/mm] T (v) = v
Nun gilt ja, dass [mm] T^{-1}\circ [/mm] T (v) = [mm] T^{-1}(T(v)) [/mm] = [mm] T^{-1}(\lambda [/mm] * v) = [mm] \lambda [/mm] * [mm] T^{-1}(v) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] \lambda^{-1} [/mm] * v = v
Also muss die inverse Abbildung immer [mm] T^{-1}(v) [/mm] = [mm] \lambda^{-1} [/mm] * v sein!
Oder?
Nur aus interesse: ist meine lösung trotzdem auch richtig??
lg und danke :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 So 23.03.2014 | | Autor: | fred97 |
Du meinst es sicher richtig, schreibst es aber unglücklich auf.
Aus [mm] $T(v)=\lambda*v$ [/mm] und [mm] \lambda \ne [/mm] 0 folgt
$ [mm] \lambda*T^{-1}(v)=T^{-1}(T(v))=v$
[/mm]
Damit ist [mm] T^{-1}(v)= \bruch{1}{\lambda}v
[/mm]
FRED
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