Eigenwerte und -vektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Mi 16.02.2011 | | Autor: | sardelka |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] |
Hallo,
ich habe für Eigenwerte [mm] \lambda_{1} [/mm] = i und [mm] \lambda_{2} [/mm] = -i.
Dann setze ich ein und habe folgendes für (A - [mm] \lambda_{1} [/mm] I)stehen:
[mm] \pmat{ -i & 1 \\ 0 & 2 }. [/mm] Und es ist ja homogenes GS, also habe ich für [mm] x_{2} [/mm] = 0 und auch [mm] x_{1}= [/mm] 0.
Und für (A - [mm] \lambda_{2} [/mm] I) habe ich [mm] \pmat{ i & 1 \\ 0 & 2 }. [/mm] Also auch EV = [mm] \vec{0}
[/mm]
Und ich weiß, dass EV Nullvektoren sein dürfen, aber dass die zwei senkrecht aufeinander stehen müssen. Bei mir trifft das zweite nicht zu. Was habe ich falsch gemacht?
Vielen Dank
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Mi 16.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix
> A = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe für Eigenwerte [mm]\lambda_{1}[/mm] = i und [mm]\lambda_{2}[/mm] =
> -i.
Das stimmt aber nicht !! Rechne nochmal !
>
> Dann setze ich ein und habe folgendes für (A -
> [mm]\lambda_{1}[/mm] I)stehen:
>
> [mm]\pmat{ -i & 1 \\ 0 & 2 }.[/mm] Und es ist ja homogenes GS, also
> habe ich für [mm]x_{2}[/mm] = 0 und auch [mm]x_{1}=[/mm] 0.
>
> Und für (A - [mm]\lambda_{2}[/mm] I) habe ich [mm]\pmat{ i & 1 \\ 0 & 2 }.[/mm]
> Also auch EV = [mm]\vec{0}[/mm]
>
> Und ich weiß, dass EV Nullvektoren sein dürfen
auaaaaaaaaaaaaaa ! genau das dürfen sie nicht !
> , aber dass
> die zwei senkrecht aufeinander stehen müssen.
Wer sagt das ?
> Bei mir
> trifft das zweite nicht zu. Was habe ich falsch gemacht?
Siehe oben.
FRED
>
> Vielen Dank
>
> MfG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Mi 16.02.2011 | | Autor: | sardelka |
Tut mir Leid, ich habe mich verschrieben. Die Matrix A lautet [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
Und ich dachte, dass EW Null sein kann und EV nicht null sein kann. Aber schein andersrum zu sein???
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht aufeinander.
Oder war das nur für symmetrische Matrizen?
Aber trotzdem kommt es bei mir nicht hin! Ich bekomme Nullvektor raus! Warum nur?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 Mi 16.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Tut mir Leid, ich habe mich verschrieben. Die Matrix A
> lautet [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }[/mm]
>
> Und ich dachte, dass EW Null sein kann und EV nicht null
> sein kann. Aber schein andersrum zu sein???
Du hast geschrieben: "Eigenvektoren können Nullvektoren sein" Und genau das ist falsch.
>
> Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht
> aufeinander.
Unfug !
> Oder war das nur für symmetrische Matrizen?
Da kommen wir der Sache schon näher.
>
> Aber trotzdem kommt es bei mir nicht hin! Ich bekomme
> Nullvektor raus! Warum nur?!
Das hab ich Dir in einer anderen Antwort geschrieben.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Mi 16.02.2011 | | Autor: | sardelka |
Ich habe mich verschrieben! Es ist A= [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:42 Mi 16.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe mich verschrieben! Es ist A= [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }[/mm]
Wenn das so ist, dann ist Dein Fehler hier:
(*) $A [mm] -\lambda_{1} [/mm] = [mm] \pmat{ -i & 1 \\ 0 & 2 }. [/mm] $
(*) ist falsch !!!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Mi 16.02.2011 | | Autor: | sardelka |
Ich habe wohl auch mit der falschen Matrix gerechnet! :(
Super! Jetzt habe ich dim A = 1. Also [mm] x_{2} [/mm] = s gesetzt. Und ich bekomme für [mm] \vec{x} [/mm] = s* [mm] \vektor{-1/i \\ 1} [/mm] raus.
Sieht doch schon viel hübscher aus!
Analog mache ich es mit dem zweiten Eigenwert.
Vielen Dank
MfG
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Hallo,
> Ich habe wohl auch mit der falschen Matrix gerechnet! :(
>
> Super! Jetzt habe ich dim A = 1. Also [mm]x_{2}[/mm] = s gesetzt.
> Und ich bekomme für [mm]\vec{x}[/mm] = s* [mm]\vektor{-1/i \\
1}[/mm] raus. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Sieht doch schon viel hübscher aus!
Noch hübscher: [mm]-\frac{1}{i}=i[/mm]
Also ergibt sich zB. für [mm]s=1[/mm] der EV: [mm]v_1=\vektor{i\\
1}[/mm]
>
> Analog mache ich es mit dem zweiten Eigenwert.
>
> Vielen Dank
>
> MfG
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:03 Mi 16.02.2011 | | Autor: | sardelka |
Ach ja, -1 ist doch i² :)
Danke sehr!
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Hallo,
> Ich habe mich verschrieben! Es ist A= [mm]\pmat{ 0 & -1 \\
1 & 0 }[/mm]
Dann stimmen deine Eigenwerte, aber was du dann rechnest, ist Kokolores:
Für [mm]\lambda_1=i[/mm] ergibt sich
[mm]\pmat{-i&-1\\
1&-i}[/mm]
Hier addiere Zeile 1 auf das i-fache von Zeile 2!
Schritt für Schritt:
Wenn du Zeile 2 mit [mm]i[/mm] multiplizierst, steht da [mm]\pmat{-i&-1\\
i&-i\cdot{}i}=\pmat{-i&-1\\
i&1}[/mm]
Nun Zeile 1 auf 2 addieren gibt [mm]\pmat{-i&-1\\
0&0}[/mm]
Wähle [mm]x_2=t[/mm] mit [mm]t\in\IC[/mm], so ist dann [mm]-ix_1-t=0[/mm], also [mm]-ix_1=t[/mm]
Also [mm]x_1=...[/mm]
Damit der Eigenraum ... und irgendein Eigenvektor ...
Analog mit [mm]\lambda_2=-i[/mm]
Gruß
schachuzipus
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