Eigenwerte und Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Sa 12.11.2011 | | Autor: | mike1988 |
| Aufgabe | Man berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren und Diagonalisiere anschließend folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 1\\ 0 & 1 & 1} [/mm] |
Mahlzeit!
Grundsätzliche Frage: Kann man eine singuläre Matrix (det = 0) überhaupt diagonalisieren??
Habe obiges Beispiel wie folgt, versucht zu lösen:
1) Charakteristisches Polynom:
[mm] -\lambda^3+\lambda^2=0
[/mm]
2) Eigenwerte:
[mm] \lambda1 [/mm] = 1, [mm] \lambda2=\lambda3=0 [/mm] (doppelter Eigenwert)
3) Eigenvektor zu [mm] \lambda1 [/mm] = 1:
[mm] \overrightarrow{v}1=\vektor{t \\ 0 \\ t}, [/mm] speziell für t = 1: [mm] \overrightarrow{v}1=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
4) Eigenvektor zu [mm] \lambda2 [/mm] = [mm] \lambda3 [/mm] = 0:
[mm] \overrightarrow{v}2=\vektor{2*t \\ -t \\ t}, [/mm] speziell für t = 1: [mm] \overrightarrow{v}2=\vektor{2 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
Sollten nicht eigentlich bei einem doppelten Eigenwert, 2 Variablen frei wählbar sein (wenn die Matrix auf Zeilen-Stufen-Form gebracht ist)?? Und hier liegt mein Problem:Ich bekomme für 3 Eigenwerte 2 Eigenvektoren und kann somit die Transformationsmatrix T nich formulieren! Oder kann ich [mm] \overrightarrow{v}2 [/mm] einfach z.B.: t = 2 als speziellen EIgenvektor einsetzen um somit die Transformationsmatrix zu erhalten??
Besten Dank für eure Hilfestellung!
Lg
|
|
| |
|
> Man berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren und
> Diagonalisiere anschließend folgende Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 1\\ 0 & 1 & 1}[/mm]
> Mahlzeit!
>
> Grundsätzliche Frage: Kann man eine singuläre Matrix (det
> = 0) überhaupt diagonalisieren??
Grundsätzlich ja, det A = 0 bedeutet erstmal nur, dass 0 Eigenwert ist. Das schließt Diagonalisierbarkeit nicht aus.
>
> Habe obiges Beispiel wie folgt, versucht zu lösen:
>
> 1) Charakteristisches Polynom:
>
> [mm]-\lambda^3+\lambda^2=0[/mm]
>
> 2) Eigenwerte:
>
> [mm]\lambda1[/mm] = 1, [mm]\lambda2=\lambda3=0[/mm] (doppelter Eigenwert)
>
> 3) Eigenvektor zu [mm]\lambda1[/mm] = 1:
>
> [mm]\overrightarrow{v}1=\vektor{t \\ 0 \\ t},[/mm] speziell für t =
> 1: [mm]\overrightarrow{v}1=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> 4) Eigenvektor zu [mm]\lambda2[/mm] = [mm]\lambda3[/mm] = 0:
>
> [mm]\overrightarrow{v}2=\vektor{2*t \\ -t \\ t},[/mm] speziell für
> t = 1: [mm]\overrightarrow{v}2=\vektor{2 \\ -1 \\ 1}[/mm]
so weit stimmt alles
>
> Sollten nicht eigentlich bei einem doppelten Eigenwert, 2
> Variablen frei wählbar sein (wenn die Matrix auf
> Zeilen-Stufen-Form gebracht ist)?? Und hier liegt mein
> Problem:Ich bekomme für 3 Eigenwerte 2 Eigenvektoren und
> kann somit die Transformationsmatrix T nich formulieren!
> Oder kann ich [mm]\overrightarrow{v}2[/mm] einfach z.B.: t = 2 als
> speziellen EIgenvektor einsetzen um somit die
> Transformationsmatrix zu erhalten??
Du hast richtig gerechnet, es gibt nur einen frei wählbaren Parameter. Das bedeutet, dass die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes 0 gleich 1 ist, während die algebraische Vielfachheit 2 ist.
Damit ist die Matrix nicht diagonalisierbar (es gibt nur zwei linear unabhängige Eigenvektoren)
>
> Besten Dank für eure Hilfestellung!
>
> Lg
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:15 Sa 12.11.2011 | | Autor: | mike1988 |
Spitze, besten Dank für deine rasche Hilfestellung!
Schönen Tag noch!
Lg
|
|
|
|
