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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:56 Di 25.01.2005 | | Autor: | Marsei |
Moin!
Sei A:= [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] , mit a,b,c,d > 0 Z.Z.
a) A hat zwei verschiedene reelle Eigenwerte
b) A hat einen positiven Eigenwert
c) Zum größten Eigenwert von A ex. unendlich viele Eigenvektoren, deren beide Komponenten >0 sind.
a) Also ich weiß, dass die Eigenwerte die Nullstellen des char. Polynoms sind und das ich das so erhalte:
det(A- [mm] \lambda [/mm] E)...
[mm] \Rightarrow [/mm] det [mm] \pmat{ a-\lambda & b \\ c & d-\lambda } [/mm] = [mm] (a-\lambda)(d-\lambda) [/mm] -bc = [mm] \lambda^2 -\lambda(a+d)-bc
[/mm]
also sind die [mm] \lambda [/mm] nach pq-formel:
[mm] \lambda_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{a+d}{2} [/mm] +- [mm] \wurzel{\bruch{(a+d)^2}{4}+bc-ad} [/mm] = [mm] \bruch{a+d}{2} [/mm] +- [mm] \wurzel{\bruch{(a-d)^2}{4}+bc}
[/mm]
b) dazu habe ich mir das [mm] \lambda [/mm] mit der positiven Wurzel angeschaut.
mit der Vorr. a,b,c,d >0 [mm] \Rightarrow [/mm] dass das [mm] \lambda [/mm] > 0 ist
Hoffe mal dass ich bis jetzt nicht so falsch daneben lag, denn jetzt kommt meine eigentlich Frage. Wie komme ich von einem Eigenwert auf einen Eigenvektor und brauch ich das für c)?
so long marsei
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:05 Di 25.01.2005 | | Autor: | Marsei |
oha stimmt da habe ich wohl einen summanden vergessen abzutippen... naja habs mal korrigiert. danke für den hinweis. was ist mit dem rest ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 Di 25.01.2005 | | Autor: | Hexe |
Also das Besondere an einem Eigenvektor v zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] der Matrix A ist, dass [mm] Av=\lambda\*v [/mm] gilt-
In unserem Fall also
I. [mm] av_1+bv_2=([/mm] [mm]\bruch{a+d}{2}[/mm] +[mm]\wurzel{\bruch{(a-d)^2}{4}+bc}
[/mm][mm] )v_1
[/mm]
II. [mm] cv_1+dv_2=([/mm] [mm]\bruch{a+d}{2}[/mm] +[mm]\wurzel{\bruch{(a-d)^2}{4}+bc}
[/mm][mm] )v_2
[/mm]
Und dabei musst du nun halt die unendlich vielen Lösungen zeigen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:26 Di 25.01.2005 | | Autor: | Marsei |
kann mich ja irren, aber wenn ich jetzt sagen wir mal die erste in die zweite einsetze muss ja ne wahre aussage herauskommen und wenn das so ist heißt das eigentlich das ich alle werte beliebig wählen kann und damit hätte ich unendlich viele möglichkeiten.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
PQFormel
!)
