Ein VR, 2 BR-Normen. Äquival.? < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 02:58 Fr 18.05.2007 | | Autor: | WebFritzi |
Jo, also wenn man einen C- oder IR-Vektorraum hat und zwei Normen darauf, die diesen jeweils zu einem Banachraum machen... Sind die beiden Normen dann notwendigerweise äquivalent? Was meint ihr?
Lösung eines Profs (die ich für falsch befinde):
Seien der Raum mit X und die Normen mit ||.|| und ||.||* bezeichnet. Dann setze
||x||** := ||x|| + ||x||*.
Der Raum (X,||.||**) ist dann ein Banachraum. Die identische Abbildung von (X,||.||**) nach (X,||.||) ist dann stetig und die Umkehrung nach dem Satz von der offenen Abbildung auch. Also ist ||.||** äquivalent zu ||.||. Analog sieht man, dass ||.||** äquivalent zu ||.||* ist, und die Behauptung ist gezeigt.
Ich sag jetzt mal nicht, wo ich den Fehler sehe, da ich euch in eurer Beurteilung nicht beeinflussen möchte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:10 Fr 18.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Ich bleibe mal im Fall [mm] $R^2$ [/mm] und betrachte die 1-Norm und die Maximumsnorm.
Ferner stelle ich mir den Vektor [mm] $(1,0)^t$ [/mm] vor und betrachte die Vektoren [mm] $(1,\epsilon)^t$ [/mm] mit $|epsilon|<1$.
Die Vereinigung all dieser Vektoren sollte bzgl. der folgenden Normen eine offene Menge sein:
$| ... [mm] |_1$ [/mm] und $| ... |**$
Fraglich bleibt für mich nur, ob diese Menge bzgl. der Maximumsnorm offen ist? (Dann wäre das Bild einer offenen Menge unter der Identität nicht mehr offen ... Das könnte aber auch daran liegen, dass [mm] $R^2$ [/mm] mit der Maximumsnorm gar nicht vollständig ist ... bzw. daran, dass ich sowieso keine Ahnung bzgl. der angesprochenen Thematik besitze ...?!?!?)
Anderer Zweifel:
Der Vektorraum darf auch nicht endlich dimensional sein. Soweit ich mich erinnere sind dann 1-Norm und Maximumsnorm nicht mehr äquivalent. Da ich aber (übrigens genauso wie oben) nicht weiss, ob die Vektorräume mit der 1-Norm bzw. mit der Maximumsnorm vollständig sind (Stichwort: Banachraum), bin ich mir nicht sicher, ob dies ein "Gegenbeispiel" werden kann ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:29 Fr 18.05.2007 | | Autor: | statler |
> Anderer Zweifel:
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> Der Vektorraum darf auch nicht endlich dimensional sein.
Da sind alle Normen äquivalent, egal ob Banach oder nicht.
> Soweit ich mich erinnere sind dann 1-Norm und Maximumsnorm
> nicht mehr äquivalent. Da ich aber (übrigens genauso wie
> oben) nicht weiss, ob die Vektorräume mit der 1-Norm bzw.
> mit der Maximumsnorm vollständig sind (Stichwort:
> Banachraum), bin ich mir nicht sicher, ob dies ein
> "Gegenbeispiel" werden kann ...
Maximumsnorm ist doch gleichmäßige Konvergenz, und der Raum der stetigen Funktionen wäre dann vollständig. Und was ist 1-Norm da? Ich bin im Moment auch noch verunsichert, weil nicht aus der Fachrichtung.
Aber interessante Frage ...
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 Fr 18.05.2007 | | Autor: | Hund |
Die 1-Norm auf denn stetigen Funkionen ist die L1-Norm. Die ist zur max-Norm nicht äquivalent, da eine Funktion, die nur fast überall gegen eine andere Funktion konvergiert schon bzgl.der L1-Norm gegen sie konvergiert, bzgl. der max-Norm aber nicht. Es ist aber C[a,b] nicht vollständig bzgl. der L1-Norm, wenn ich mich richtig erinnere.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:45 Fr 18.05.2007 | | Autor: | SEcki |
> Ich sag jetzt mal nicht, wo ich den Fehler sehe, da ich
> euch in eurer Beurteilung nicht beeinflussen möchte.
Da ich keinen fehler sehe - wo sieht's du ihn?
SEcki
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Dann zeig mir mal bitte, dass (X,||.||**) ein Banachraum ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Fr 18.05.2007 | | Autor: | SEcki |
> Dann zeig mir mal bitte, dass (X,||.||**) ein Banachraum
> ist.
Hmmm, also eine Cauchyfolge in dem Raum ist automatisch eine in beiden Banachräumen, die wg. Vollständigkeit jeweils konvergieren. Ist jetzt dein Problem, dass es ein unterschieldicher GW sein kann in beiden Räumen? Vielleicht findest du da ja ein Gegenbsp.
(Oder aber aber: ich projezier auf den Unterraum der von den beiden GW erezugt wird, die Projektion ist bzgl. beider Normen stetig, die auf den Unterraum eingeschr. Normen ergeben auch 2 Cauchyfolgen dort, also müssen sie gegen den gleichen GW konvergierne. Ja, das sollte es sein!)
SEcki
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>> ich projezier auf den Unterraum der von den beiden GW erezugt wird
Verstehe ich nicht. Was für einen Unterraum meinst du? Und ja, ich meine, dass eine ||.||**-Cauchyfolge bzgl. der beiden anderen Normen gegen zwei unterschiedliche GW'e konvergieren kann.
BTW: Kann man in diesem Forum auch ordentlich zitieren, indem man auf einen Button "Zitieren" klickt? Ich finde das Forum außerdem viel zu überladen mit Möglichkeiten. Eine Oberfläche sollte so aufgebaut sein, dass man sie fast auf Anhieb versteht. Das ist hier nicht der Fall. OK, genug Off-Topic-Gebrabbel.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 Fr 18.05.2007 | | Autor: | SEcki |
> Verstehe ich nicht. Was für einen Unterraum meinst du?
Der von den beiden a priori unterschieldichen GW erzeugt wird. Jetzt eine Projektion auf den Raum, der bzgl. beider Normen stetig ist, und man ist fertig. Sollte doch gehen wegen Abgeschlossenheit des UR, oder?
> Und
> ja, ich meine, dass eine ||.||**-Cauchyfolge bzgl. der
> beiden anderen Normen gegen zwei unterschiedliche GW'e
> konvergieren kann.
Ich glaube nicht, aber ein Gegenbsp. wäre dann auch nicht schlecht, falls ich mich irre.
> BTW: Kann man in diesem Forum auch ordentlich zitieren,
> indem man auf einen Button "Zitieren" klickt?
Ja.
> Ich finde das
> Forum außerdem viel zu überladen mit Möglichkeiten. Eine
> Oberfläche sollte so aufgebaut sein, dass man sie fast auf
> Anhieb versteht. Das ist hier nicht der Fall.
Es gibt ein feedback-Forum ... ich mag die Möglichkeitne hier.
> OK, genug
> Off-Topic-Gebrabbel.
Ja.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Fr 18.05.2007 | | Autor: | WebFritzi |
>> Verstehe ich nicht. Was für einen Unterraum meinst du?
> Der von den beiden a priori unterschiedlichen GW erzeugt wird.
Ähm ja, das schriebst du schon. Ich kann lesen! In welchem Sinne "erzeugt"? Es gibt diese mathematische Ausdrucksweise nicht. Meinst du einfach den Span der Grenzwerte, oder was?
>> BTW: Kann man in diesem Forum auch ordentlich zitieren,
>> indem man auf einen Button "Zitieren" klickt?
> Ja.
Und wo bitte? Ich sehe immer nur den Button "Reagieren". Dann hat man mehrere Möglichkeiten zu reagieren, aber "Zitat" ist nicht dabei...
BTW: Geil. Jetzt muss ich meinen Betreff ändern. Zitat: "Betreff besteht nur aus GROSSBUCHSTABEN. Bitte schreibe die Wörter in normaler Schreibweise." Mein Gott, ist das ein Quatsch! Zumal das gar nicht stimmt. Mein Betreff lautete: "Hä? II". Ist das "ä" hier ein Großbuchstabe, ja? Ich finde die Benutzbarkeit des Forums hier echt scheiße! Sorry, das musste mal sein. Ich bin hier nur wegen der Leute, von denen viele was draufhaben.
BTW2: Ich würde gerne die Forumansicht in meinem Profil standardmäßig auf "flach" stellen. Geht das? Diese Schachtelei mag ich nicht so gern.
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> >> BTW: Kann man in diesem Forum auch ordentlich zitieren,
> >> indem man auf einen Button "Zitieren" klickt?
Hallo,
den "Zitieren"-Button findest Du links unterhalb des Texteingabefensters.
> BTW2: Ich würde gerne die Forumansicht in meinem Profil standardmäßig auf "flach" stellen. Geht das?
Ja. In Deinem Profil unter Einstellungen für das Forensystem>Bevorzugte Ansicht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 Fr 18.05.2007 | | Autor: | SEcki |
> In welchem
> Sinne "erzeugt"?
Lineare Algebra Sinn. (Kleinster Unterraum, der diese Elemente als Erzeuger hat)
> Es gibt diese mathematische Ausdrucksweise
> nicht.
Doch, jedenfalls hier. Erzeugendensystem ist aber schon ein Begriff, und nicht blos Span?
> Meinst du einfach den Span der Grenzwerte, oder
> was?
Ja.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:26 Fr 18.05.2007 | | Autor: | WebFritzi |
> > Verstehe ich nicht. Was für einen Unterraum meinst du?
>
> Der von den beiden a priori unterschieldichen GW erzeugt
> wird. Jetzt eine Projektion auf den Raum, der bzgl. beider
> Normen stetig ist, und man ist fertig. Sollte doch gehen
> wegen Abgeschlossenheit des UR, oder?
Im Allgemeinen geht das nicht. Aber hier schon, da der Unterraum endlichdimensional ist. Ich verstehe aber dein Vorgehen nicht. Was habe ich von der Projektion und dem Unterraum? Die Glieder der Cauchyfolge liegen da ja gar nicht drinne...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:13 Sa 19.05.2007 | | Autor: | SEcki |
> Im Allgemeinen geht das nicht. Aber hier schon, da der
> Unterraum endlichdimensional ist.
Natürlich nicht im Allgemeinen!
> Ich verstehe aber dein
> Vorgehen nicht. Was habe ich von der Projektion und dem
> Unterraum? Die Glieder der Cauchyfolge liegen da ja gar
> nicht drinne...
Aber es gibt eine Folge [m]a_n[/m] die bzgl. beider Normen gegen unterschieldihe GW konvergiert, nun konvergieren dann die Projektionen jeweils gegen die 2 unterschiedlichen GW, also haben wir eine Folge die gegen zwei GW konvergeirt (im endlich-dim. UR), also müssen hier die GW übereinstimmen.
Seien a und b die GW, dann: [m]\pi(a_n)\to\pi(a)=a[/m] und [m]\pi(_an)\to \pi(b)=b[/m].
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:49 Sa 19.05.2007 | | Autor: | WebFritzi |
Ah, ich sehe, was du meinst. Guter Ansatz, aber nicht ausreichend. Man muss hier höllisch aufpassen. Das Problem ist, dass die Projektion nicht in beiden Normen stetig sein muss. Es gilt der Satz:
"Sei X Banachraum und M ein endlichdimensionaler Unterraum in X. Dann gibt es eine stetige Projektion von X auf M."
Das heißt aber eben nicht, dass jede Projektion auf M stetig ist. Suchen wir uns also eine stetige Projektion P in (X,||.||) auf deinen Unterraum, dann muss P in (X,||.||*) nicht notwendig stetig sein.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Fr 18.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Würde denn die Defintion
[mm] $||...||^{\*\*} [/mm] := [mm] \max(||...||, ||...||^{\*})$
[/mm]
zum Ziel führen bzw. Deine verschieden konvergierenden (geschiedenen) Cauchy-Folgen wieder vereinen???
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Deine Norm und die ||.||**-Norm sind äquivalent! Bringt also nüscht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 Mo 21.05.2007 | | Autor: | Marc |
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=80709&start=0#p591764
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