Eindimensionales Potential < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Massepunkt der Mass m bewegt sich in dem eindimensionalen Potential [mm] V(x)=x^{4}-2x^{2}. [/mm] Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass Sie Einheiten so gewählt haben, dass m=1 und x dimensionslos ist.
a) Skizzieren Sie das Potential. Welche Werte der Energie E sind möglich? Welchen Unterschied der Bewegungsform gibt es für E < 0 und E > 0? Skizzieren Sie qualitativ die zu diesen beiden Fällen gehörigen Bahnen im Phasenraum (x,v). Was ist der Maximale Wert für x' bei gegebener Energie E?
b) Bestimmen Sie die stabilen und instabilen Ruhelagen der Bewegung und die zugehörigen Energien. Geben Sie die Taylor-Entwicklung des Potentials um die stabilen Ruhelagen bis zur 2. Ordnung einschließlich an. Wie sieht die Bewegungsgleichung für kleine Bewegungen in der Nähe der Ruhelage aus und was ist die Schwingungsfrequenz? |
Das skizzieren, Ruhelagen bestimmen und die Taylor-Entwicklung sind kein Problem. Probleme bereitet mir aber der maximale Wert für x' und die Schwingungsfrequenz. Wie kommt man auf soetwas? In der Vorlesung haben wir mit [mm] V(x)=x^{2} [/mm] und [mm] E=\bruch{1}{2}mv^{2}+\bruch{1}{2}kx^{2} [/mm] die Schwingungsgleichung hergeleitet, aber ich habe hier ja explizit keine Formel für die Energie angegeben. Kann ich einfach die aus der Vorlesung nutzen?
Und wie ist das mit der Bewegung bei E < 0 bzw E > 0 gemeint? Das Potential sieht ja aus wie ein w, aber die Energien > 0 sind nicht direkt verbunden. Muss ich da irgendwie eine Fallunterscheidung machen oder ist das vernachlässigbar, da das Potential ja Symmetrisch ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 23.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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