Einheitskreis < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:59 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Cat- |
| Aufgabe | Berechnung der Länge des Einheitskreisbogens:
Es gilt: sin ß = AE < Bogen PE < tanß = PF
Geht man nun von einem Einheitskreisbogen B mit Zentrumswinkel ß aus, so setzt man ß = [mm] \bruch{ß}{n} [/mm] und erhält nach Multiplikation mit n :
n * sin [mm] \bruch{\beta}{n} [/mm] < Länge B < n * tan [mm] \bruch{\beta}{n} [/mm]
Damit hat man
1. Die Länge eines Einheitskreisbogens mit Zentrumswinkel ß ist gleich ß.
2. Der Umfang des Einheitskreises ist [mm] 2\pi.
[/mm]
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Hallo!
Mir ist nicht ganz klar, wie ich auf die beiden Schlussfolgerungen 1. und 2. komme.
Wie muss ich die Hauptgleichung auflösen oder umformen, kann mir Jemand helfen.
Danke !
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Hallo!
Die Idee hier ist, die Reihenentwicklugn von Sinus und Tangens zu betrachten. Beide beginnen mit dem Term $x$ und daraus folgt, dass sich [mm] $\sin(x)$ [/mm] und [mm] $\tan(x)$ [/mm] für $x [mm] \to [/mm] 0$ asymptotisch wie die konstante Funktion $x$ verhalten.
Für $n [mm] \to \infty$ [/mm] gilt doch [mm] $\frac{\beta}{n} \to [/mm] 0$ und mit obigem folgt
[mm] $\lim_{n \to \infty} [/mm] n [mm] \cdot \sin \left( \frac{\beta}{n} \right) [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} [/mm] n [mm] \cdot \frac{\beta}{n} [/mm] = [mm] \beta$
[/mm]
und für den Tangens ebenso. Da die Abschätzung für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] richtig ist, gilt sie (abgeschwächt) für den Limes und es folgt, dass $B$ die Länge [mm] $\beta$ [/mm] hat.
Folgerung 2 ist eine Konsequenz aus der ersten, denn ein voller Kreisbogen entspricht dem Winkel $2 [mm] \pi$.
[/mm]
Gruß,
Lars
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