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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 So 13.05.2012 | | Autor: | murmel |
| Aufgabe | Gegeben sei ein Zylinder der homogenen Ladungsdichte [mm] $\varrho_0$ [/mm] vom Radius $R$ und der Höhe $H = 2a$. Er liege symmetrisch zur $z$-Achse, sowie zur $xy$-Ebene. (Seine Deckel- bzw. Bodenflächen liegen also bei $z = a$, bzw. $-a$.)
Betrachten Sie im Folgenden das [mm] $\vec [/mm] E$ -Feld fur einen Punkt $P$ auf der $z$-Achse für $z > a$ (d.h. fur einen Punkt $P$ im "Außenraum", obere Halbebene).
a.) Es gilt (für $P$), dass [mm] $E_x [/mm] = [mm] E_y [/mm] = 0$ ist. Zeigen Sie dies durch Rechnung fur einen der beiden Fälle. (Dies lässt sich natürlich auch durch Symmetriebetrachtungen erkennen, hier ist jedoch die rechnerische Begründung verlangt.)
b.) Berechnen Sie [mm] $E_z$ [/mm] für $P$. Rechnen Sie direkt, d.h. nicht uber den Umweg uber [mm] $\Phi$. [/mm] (Hinweis für Aufgabe 2): Es sollte gelten:
[mm] $E_z \propto \left( \sqrt{R^2 + \left[ z - a \right]^2} - \sqrt{R^2 + \left[ z + a \right]^2} - 2a\right)$ [/mm] |
Hallo,
hier meine Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Komponenten [mm] $E_x$ [/mm] und [mm] $E_y$ [/mm] sind gleich Null, so geht das aus meiner Rechnung hervor -jedenfalls für Zylinderkoordinaten in Aufgabe a):
Korrekturen
[mm]
E_x = \frac{\varrho_0}{4 \pi\,\varepsilon_0}\,\displaystyle\int\limits_{-a}^{\phantom{-}a}{- \bruch{-r'^2}{\left[\sqrt{r'^2 + \left(z - z'\right)^2} \right]^3}\,\mathrm{d}z'}\left[\underbrace{\sin\left(2\pi\right) - \sin\left(0\right)}_{= 0}\right] \qquad \Rightarrow \qquad E_x = 0 = E_y
[/mm]
Mit der Feldkomponente [mm] $E_z$ [/mm] tu' ich mich gerade etwas schwer. Das [mm] $\vec [/mm] E$-Feld ist ja ein Vektor, in dem die Integration komponentenweise erfolgt, so auch für [mm] $E_z$. [/mm] Durch Darstellung in Zylinderkoordinaten bekommen die $x$ und $y$ Komponente jeweils noch die Sinus- bzw. Cosinusfunktion hinzu. Entsprechend dann das obige Ergebnis ('hoffe dies ist richtig, physikalisch habe ich jedoch gerade das Problem, diesen Sachverhalt zu deuten -hatte ich ja schon mal in diesem Forum ein ähnliches Problem!)
Also nun für [mm] $E_z$ [/mm] der Ansatz:
[mm]
E_z \neq 0 = \frac{\varrho_0}{4 \pi\,\varepsilon_0}\, \displaystyle\int\limits_{-a}^{\phantom{-}a}{ \frac{z - z'}{\left[\sqrt{r'^2 + \left(z - z'\right)^2} \right]^3}\,\mathrm{d}z' }\displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi} \,\mathrm{d}\varphi'
[/mm]
Die Integration nach [mm] $\varphi'$ [/mm] ist einfach, jedoch wird es dann schwierig!
Das verbleibende Integral habe ich versucht mit WOLFRAM zu lösen und komme dann auf:
(Welches jedoch nicht identisch mit dem angegebenen Proportionalitätsterm ist.)
[mm]
E_z = \frac{\varrho_0}{2\,\varepsilon_0}\,\left[\frac{1}{\sqrt{r\,'^2 + \left(z' - z\right)^2}}\right]_{-a}^{a}
[/mm]
Danke für eure Hilfe!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Mo 14.05.2012 | | Autor: | murmel |
Oh, danke notinX!
Ich denke du meinst
die Vorschrift für's Flächenelement, also
[mm]
\mathr{d}\vec f = \left(R\,\mathr{d}\varphi'\,\mathr{d}z'\right) \vec{e}_\varrho
[/mm]
Dann taucht da kein [mm] $\mathrm{d}r'$ [/mm] auf!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Mo 14.05.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Gegeben sei ein Zylinder der homogenen Ladungsdichte
> [mm]\varrho_0[/mm] vom Radius [mm]R[/mm] und der Höhe [mm]H = 2a[/mm]. Er liege
> symmetrisch zur [mm]z[/mm]-Achse, sowie zur [mm]xy[/mm]-Ebene. (Seine Deckel-
> bzw. Bodenflächen liegen also bei [mm]z = a[/mm], bzw. [mm]-a[/mm].)
> Betrachten Sie im Folgenden das [mm]\vec E[/mm] -Feld fur einen
> Punkt [mm]P[/mm] auf der [mm]z[/mm]-Achse für [mm]z > a[/mm] (d.h. fur einen Punkt
> [mm]P[/mm] im "Außenraum", obere Halbebene).
> a.) Es gilt (für [mm]P[/mm]), dass [mm]E_x = E_y = 0[/mm] ist. Zeigen Sie
> dies durch Rechnung fur einen der beiden Fälle. (Dies
> lässt sich natürlich auch durch Symmetriebetrachtungen
> erkennen, hier ist jedoch die rechnerische Begründung
> verlangt.)
> b.) Berechnen Sie [mm]E_z[/mm] für [mm]P[/mm]. Rechnen Sie direkt, d.h.
> nicht uber den Umweg uber [mm]\Phi[/mm]. (Hinweis für Aufgabe
> 2): Es sollte gelten:
> [mm]E_z \propto \left( \sqrt{R^2 + \left[ z - a \right]^2} - \sqrt{R^2 + \left[ z + a \right]^2} - 2a\right)[/mm]
>
>
>
>
>
>
> Hallo,
>
>
> hier meine Skizze:
>
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
>
>
>
>
>
> Die Komponenten [mm]E_x[/mm] und [mm]E_y[/mm] sind gleich Null, so geht das
> aus meiner Rechnung hervor -jedenfalls für
> Zylinderkoordinaten in Aufgabe a):
Zylinderkoordinaten brauchst Du bei der a) gar nicht, das kann man auch bequem in kartesischen berechnen. Das Ergebnis ist aber selbstverständlich von den Koordinaten unabhängig.
>
> Korrekturen
>
>
> [mm]
E_x = \frac{\varrho_0}{4 \pi\,\varepsilon_0}\,\displaystyle\int\limits_{-a}^{\phantom{-}a}{- \bruch{-r'^2}{\left[\sqrt{r'^2 + \left(z - z'\right)^2} \right]^3}\,\mathrm{d}z'}\left[\underbrace{\sin\left(2\pi\right) - \sin\left(0\right)}_{= 0}\right] \qquad \Rightarrow \qquad E_x = 0 = E_y
[/mm]
>
Das kommt mir spanisch vor.
Das E-Feld berechnet sich durch ein Dreifachintegral:
[mm] $\vec E(\vec [/mm] r) = [mm] \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int {\varrho(\vec{r}\,')\frac{\vec r-\vec{r}\,'}{\left|\vec r-\vec{r}\,'\right|^3}}\mathrm{d}^3r\,'$
[/mm]
Die x-Komponente ist dementsprechend:
[mm] $\ensuremath{E_{x}(\vec{r})=\frac{\varrho_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}}\int{\frac{x-x'}{\left|\vec{r}-\vec{r}\,'\right|^{3}}}\mathrm{d}^{3}r\,'}$
[/mm]
Wenn Du jetzt die Integration nach x ausführst sollte 0 rauskommen.
>
>
>
>
> Mit der Feldkomponente [mm]E_z[/mm] tu' ich mich gerade etwas
> schwer. Das [mm]\vec E[/mm]-Feld ist ja ein Vektor, in dem die
> Integration komponentenweise erfolgt, so auch für [mm]E_z[/mm].
> Durch Darstellung in Zylinderkoordinaten bekommen die [mm]x[/mm] und
> [mm]y[/mm] Komponente jeweils noch die Sinus- bzw. Cosinusfunktion
> hinzu. Entsprechend dann das obige Ergebnis ('hoffe dies
Na ja, die kommen da nicht einfach hinzu - die werden entsprechend der Transformationsgleichungen substituiert.
> ist richtig, physikalisch habe ich jedoch gerade das
> Problem, diesen Sachverhalt zu deuten -hatte ich ja schon
> mal in diesem Forum ein ähnliches Problem!)
>
> Also nun für [mm]E_z[/mm] der Ansatz:
>
> [mm]
E_z \neq 0 = \frac{\varrho_0}{4 \pi\,\varepsilon_0}\, \displaystyle\int\limits_{-a}^{\phantom{-}a}{ \frac{z - z'}{\left[\sqrt{r'^2 + \left(z - z'\right)^2} \right]^3}\,\mathrm{d}z' }\displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi} \,\mathrm{d}\varphi'
[/mm]
Ob, [mm] $E_z\neq [/mm] 0$ ist, musst Du erst noch zeigen. Außerdem ist es ja laut Deiner (nicht-)Gleichung gleich null, falls Du mit der rechten Seite das Feld berechnen willst.
>
> Die Integration nach [mm]\varphi'[/mm] ist einfach, jedoch wird es
> dann schwierig!
Auch die z-Kompontente ist ein Dreifachintegral. Der Ansatz ist also falsch.
> Das verbleibende Integral habe ich versucht mit WOLFRAM zu
> lösen und komme dann auf:
> (Welches jedoch nicht identisch mit dem angegebenen
> Proportionalitätsterm ist.)
>
> [mm]
E_z = \frac{\varrho_0}{2\,\varepsilon_0}\,\left[\frac{1}{\sqrt{r\,'^2 + \left(z' - z\right)^2}}\right]_{-a}^{a}
[/mm]
>
>
> Danke für eure Hilfe!
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Di 15.05.2012 | | Autor: | murmel |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
So, das was ich davor geschrieben habe war ja totaler Schrott! ![[grummel]](/images/smileys/grummel.gif "[grummel]")
Selbst wenn ich komponentenweise integriere, darf ich natürlich kein Integral "unterwegs verlieren". So langsam geht mir ein Licht auf (Dank' dir, notinX!). Jede Komponente muss dann entsprechend nach $\mathrm{d}x'$, $\mathrm{d}y'$ und $\mathrm{d}z'$ integriert werden. ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
Obere Halbebene heißt doch nun hoffentlich, das lediglich von $\left[0,z]\right$ integriert werden muss?
Wenn ich entsprechend mit kartesischen Koordinaten arbeite, dann sollte das elektrische Feld für seine $x$-Komponente
[mm]
E_x = \frac{1}{4\,\pi\varepsilon_0}\,\int\limits_{0}^{\hat{z}}\int\limits_{-R}^{R}\int\limits_{-\sqrt{R^2-\hat{y}^2}}^{\sqrt{R^2-\hat{y}^2}} \left[-\frac{x'}{\left(\sqrt{x'^2 + y'^2 + \left(z - z'\right)^2}\right)^3}\right]\,\mathrm{d}x'\,\mathrm{d}y'\,\mathrm{d}z'
[/mm]
sein.
So, sieht nun erst einmal das Integral aus, nicht besonders schön, aber ![[angst]](/images/smileys/angst.gif "[angst]") !
In der Not könnte ich vielleicht durch Raten dieses Integral lösen, habe mich haber über WOLFRAM bemüht und bekomme dabei folgendes Ergebnis:
[mm]
E_x = \frac{1}{4\,\pi\varepsilon_0}\,\int\limits_{0}^{\hat{z}}\int\limits_{-R}^{R}\left[\frac{1}{\sqrt{x'^2 + y'^2 + \left(z - z'\right)^2}}\right]_{-\sqrt{R^2-\hat{y}^2}}^{\sqrt{R^2-\hat{y}^2}}\,\mathrm{d}y'\,\mathrm{d}z'
[/mm]
Ich setze ein und erhalte
[mm]
E_x = \frac{1}{4\,\pi\varepsilon_0}\,\int\limits_{0}^{\hat{z}}\int\limits_{-R}^{R}\left[\frac{1}{\sqrt{\left(\sqrt{R^2-\hat{y}^2}\right)^2 + y'^2 + \left(z - z'\right)^2}}- \left( \frac{1}{\sqrt{\left(-\sqrt{R^2-\hat{y}^2}\right)^2 + y'^2 + \left(z - z'\right)^2}} \right)\right] \,\mathrm{d}y'\,\mathrm{d}z'
[/mm]
Damit wird der "geklammerte" Ausdruck Null und voila alles wird Null, egal was in den anderen beiden Integralen stehen wird!
[mm]
E_x = \frac{1}{4\,\pi\varepsilon_0}\,\int\limits_{0}^{\hat{z}}\int\limits_{-R}^{R}\left[\underbrace{\frac{1}{\sqrt{\left(\sqrt{R^2-\hat{y}^2}\right)^2 + y'^2 + \left(z - z'\right)^2}}- \left( \frac{1}{\sqrt{\left(-\sqrt{R^2-\hat{y}^2}\right)^2 + y'^2 + \left(z - z'\right)^2}} \right)}_{= 0}\right] \,\mathrm{d}y'\,\mathrm{d}z'
[/mm]
Ist der Ansatz für die [mm] $E_x$-Komponente [/mm] nun richtig?
Schön wär's ja ![[biggrin]](/images/smileys/biggrin.gif "[biggrin]")
Für Hilfe bedanke ich mich recht herzlich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 Di 15.05.2012 | | Autor: | murmel |
> Obere Halbebene heißt doch nun hoffentlich, das lediglich
> von [mm]\left[0,z]\right[/mm] integriert werden muss?
Ich meine natürlich eine Integration $z' [mm] \in \left[0,\hat{z}'\right]$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Di 15.05.2012 | | Autor: | notinX |
> So, das was ich davor geschrieben habe war ja totaler
> Schrott!
>
> Selbst wenn ich komponentenweise integriere, darf ich
> natürlich kein Integral "unterwegs verlieren". So langsam
> geht mir ein Licht auf (Dank' dir, notinX!). Jede
> Komponente muss dann entsprechend nach [mm]\mathrm{d}x'[/mm],
> [mm]\mathrm{d}y'[/mm] und [mm]\mathrm{d}z'[/mm] integriert werden.
Genau.
>
> Obere Halbebene heißt doch nun hoffentlich, das lediglich
> von [mm]\left[0,z]\right[/mm] integriert werden muss?
>
Nein, das heißt nur, dass der Punkt, an dem Du das Feld berechnen sollst auf der z-Achse oberhalb der x-y-Ebene bei z>a ist. Das Feld, das von der Ladungsverteilung generiert wird etnsteht trotzdem durch dem kompletten Zylinder, also muss auch über den ganzen Zylinder integriert werden.
> Wenn ich entsprechend mit kartesischen Koordinaten
> arbeite, dann sollte das elektrische Feld für seine
> [mm]x[/mm]-Komponente
>
>
> [mm]
E_x = \frac{1}{4\,\pi\varepsilon_0}\,\int\limits_{0}^{\hat{z}}\int\limits_{-R}^{R}\int\limits_{-\sqrt{R^2-\hat{y}^2}}^{\sqrt{R^2-\hat{y}^2}} \left[-\frac{x'}{\left(\sqrt{x'^2 + y'^2 + \left(z - z'\right)^2}\right)^3}\right]\,\mathrm{d}x'\,\mathrm{d}y'\,\mathrm{d}z'
[/mm]
>
> sein.
Du hast [mm] $\varrho_0$ [/mm] vergessen, nach z' wird wie gesagt von -a bis a integriert. Aber sonst siehts gut aus.
>
> So, sieht nun erst einmal das Integral aus, nicht besonders
> schön, aber !
>
>
> In der Not könnte ich vielleicht durch Raten dieses
> Integral lösen, habe mich haber über WOLFRAM bemüht und
> bekomme dabei folgendes Ergebnis:
>
>
> [mm]
E_x = \frac{1}{4\,\pi\varepsilon_0}\,\int\limits_{0}^{\hat{z}}\int\limits_{-R}^{R}\left[\frac{1}{\sqrt{x'^2 + y'^2 + \left(z - z'\right)^2}}\right]_{-\sqrt{R^2-\hat{y}^2}}^{\sqrt{R^2-\hat{y}^2}}\,\mathrm{d}y'\,\mathrm{d}z'
[/mm]
>
> Ich setze ein und erhalte
>
>
> [mm]
E_x = \frac{1}{4\,\pi\varepsilon_0}\,\int\limits_{0}^{\hat{z}}\int\limits_{-R}^{R}\left[\frac{1}{\sqrt{\left(\sqrt{R^2-\hat{y}^2}\right)^2 + y'^2 + \left(z - z'\right)^2}}- \left( \frac{1}{\sqrt{\left(-\sqrt{R^2-\hat{y}^2}\right)^2 + y'^2 + \left(z - z'\right)^2}} \right)\right] \,\mathrm{d}y'\,\mathrm{d}z'
[/mm]
>
> Damit wird der "geklammerte" Ausdruck Null und voila alles
> wird Null, egal was in den anderen beiden Integralen stehen
> wird!
>
> [mm]
E_x = \frac{1}{4\,\pi\varepsilon_0}\,\int\limits_{0}^{\hat{z}}\int\limits_{-R}^{R}\left[\underbrace{\frac{1}{\sqrt{\left(\sqrt{R^2-\hat{y}^2}\right)^2 + y'^2 + \left(z - z'\right)^2}}- \left( \frac{1}{\sqrt{\left(-\sqrt{R^2-\hat{y}^2}\right)^2 + y'^2 + \left(z - z'\right)^2}} \right)}_{= 0}\right] \,\mathrm{d}y'\,\mathrm{d}z'
[/mm]
>
>
> Ist der Ansatz für die [mm]E_x[/mm]-Komponente nun richtig?
>
Die Integration stimmt und damit auch die Begründung, warum es =0 ist. Wenn Du den Rest noch korrigierst passt alles.
>
> Schön wär's ja
>
> Für Hilfe bedanke ich mich recht herzlich.
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Mi 16.05.2012 | | Autor: | murmel |
Bezugnehmend auf den b-Teil der Aufgabe. Hierfür soll ja gezeigt werden, dass die $z$-Komponente des Feldes $0 [mm] \neq E_z \propto \left( \sqrt{R^2 + \left[ z - a \right]^2} - \sqrt{R^2 + \left[ z + a \right]^2} - 2a\right)$!
[/mm]
Ich komme mit meinem "Latein" ziemlich schnell an meine Grenzen, denn das entstehende Integral wird zum Monster! Nachdem nach [mm] $\varphi'$ [/mm] integriert wurde, steht:
[mm]
E_z = \frac{\varrho_0}{2\,\varepsilon_{0}}\,\int\limits_{-R}^{R}\,\int\limits_{-a}^{a} \left[r'\frac{\left(z - z'\right)}{\left(\sqrt{r'^2 + \left(z - z'\right)^2}\right)^3}\right]\,\mathrm{d}z'\,\mathrm{d}r'
[/mm]
Aber ich verstehe nicht wie ich auf diese Proportionalität kommen soll! Hat jemand eine Idee?
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Mi 16.05.2012 | | Autor: | notinX |
> Bezugnehmend auf den b-Teil der Aufgabe. Hierfür soll ja
> gezeigt werden, dass die [mm]z[/mm]-Komponente des Feldes [mm]0 \neq E_z \propto \left( \sqrt{R^2 + \left[ z - a \right]^2} - \sqrt{R^2 + \left[ z + a \right]^2} - 2a\right)[/mm]!
>
> Ich komme mit meinem "Latein" ziemlich schnell an meine
> Grenzen, denn das entstehende Integral wird zum Monster!
> Nachdem nach [mm]\varphi'[/mm] integriert wurde, steht:
>
> [mm]
E_z = \frac{\varrho_0}{2\,\varepsilon_{0}}\,\int\limits_{-R}^{R}\,\int\limits_{-a}^{a} \left[r'\frac{\left(z - z'\right)}{\left(\sqrt{r'^2 + \left(z - z'\right)^2}\right)^3}\right]\,\mathrm{d}z'\,\mathrm{d}r'
[/mm]
>
Die Integrationsgrenzen für r' sind 0 bis R. r' kann nicht kleiner als 0 sein.
> Aber ich verstehe nicht wie ich auf diese Proportionalität
> kommen soll! Hat jemand eine Idee?
Substituiere [mm] $u(z')=(z-z')^2$
[/mm]
>
> Danke
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:16 Do 17.05.2012 | | Autor: | murmel |
Hallo notinX!
> Die Integrationsgrenzen für r' sind 0 bis R. r' kann nicht
> kleiner als 0 sein.
Stimmt, ich habe schlicht weg vergessen das abzuändern als ich dies aus der kartesischen Darstellung kopiert und eingefügt habe. Böser Fehler!
Danke.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Fr 18.05.2012 | | Autor: | murmel |
| Aufgabe | 2. Taylorentwicklung:
a.) Entwicklen Sie die Funktion $f(x) = [mm] \sqrt{1 + x + Ax^2}$ [/mm] in eine Taylorreihe 3. Ordnung um den Punkt [mm] $x_0 [/mm] = 0$. Vergleichen Sie für $x = 0,1$ und $A = 2$ das exakte mit dem ungefahren Ergebnis.
b.) Zeigen Sie mit Hilfe des Ergebnisses aus 2a.), dass [mm] $E_z$ [/mm] aus Aufgabe 1 für $z >> a $ mit [mm] $1/z^2$ [/mm] abfällt.
Anleitung: Wenden Sie im Ausdruck [mm] $\sqrt{R^2 + (z + a)^2}$ [/mm] die binomische Formel an und ziehen Sie ein $z$ vor die Wurzel. Danach sollten Sie mit $x = 2a/z$ die Taylorentwicklung aus 2a.) anwenden können. Verfahren Sie analog mit [mm] $\sqrt{R^2 + (z - a)^2}$. [/mm] |
Hallo,
das Folgende bezieht sich auf die zu Beginn dieses "Threads" gestellte Aufgabe zur [mm] $E_z$-Komponente [/mm] des elektrischen Feldes.
Aufgabe 2a.) habe ich bereits gelöst, da geht es ja darum die Taylorentwicklung anzuwenden.
Bei Aufgabe 2b.) bin ich mir nicht sicher was genau gemeint ist, denn wenn ich beispielsweise nach [mm] $\sqrt{R^2 + (z + a)^2}$ [/mm] und [mm] $\sqrt{R^2 + (z - a)^2}$ [/mm] entwickeln muss jedoch die Anleitung berücksichtige, dann sieht der Ausruck innerhalb der Wurzel so aus ($k$ ist die Konstante die die Ladungsdichte und Dielektrizitätskonstante und [mm] $4\pi$ [/mm] enthält):
[mm]
E_z = k\,\left[\sqrt{z^2\left(\frac{R^2}{z^2} + \frac{z^2}{z^2} + \frac{2az}{z^2} + \frac{a^2}{z^2}\right)} - \sqrt{z^2\left(\frac{R^2}{z^2} + \frac{z^2}{z^2} - \frac{2az}{z^2} + \frac{a^2}{z^2}\right)} - 2a\right]
[/mm]
und:
[mm]
E_z = k\,\left[z \sqrt{\frac{R^2}{z^2} + 1 + \frac{2az}{z^2} + \frac{a^2}{z^2}} - z \sqrt{\frac{R^2}{z^2} - \frac{2az}{z^2} + \frac{a^2}{z^2}} - 2a\right]
[/mm]
Dies sieht dem aus Aufgabe 2a gestellten Wurzelterm annähernd ähnlich, jedoch steht ja nun vor der Wurzel das $z$. Die Entwicklung nach Taylor müsste demzufolge ja völlig anders aussehen!
Könnte mir jemand bitte einen Tipp geben, 'wäre dafür sehr dankbar!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:20 Sa 19.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du sollst nur die Wurzel nach Taylor entwickeln, dann mal z.
du solltest die Terme, wo du kuerzen kannst kuerzen und die mit [mm] z^2 [/mm] im Nenner zusammenfassen!
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Sa 19.05.2012 | | Autor: | murmel |
Eine dumme(?) Frage habe ich noch:
So wie ich das nun verstehe, soll die Taylorentwicklung für Aufgabe 2b) benutzt werden.
Es soll jetzt aber (nicht) heißen, dass ich den Ausdruck
[mm]
\sqrt{1 + x + Ax^2}
[/mm]
als Basis verwende und den Ausdruck [mm] $\frac{\left(R^2 + a^2\right)}{z^2}$ [/mm] in den Wurzeln
[mm]
\pm \sqrt{\frac{\left(R^2 + a^2\right)}{z^2} + \frac{2a}{z}+ 1}
[/mm]
für [mm] $Ax^2$ [/mm] anpasse, so dass ich auf 2a) zurückgreifen kann?
Oder soll ich nun einfach mit [mm] $\pm \sqrt{\frac{\left(R^2 + a^2\right)}{z^2} + \frac{2a}{z}+ 1}$ [/mm] die Taylorreihe entwickeln?
Danke.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Sa 19.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum nochmal entwickeln, wo du sie doch schon fuer x=2a/z hast?
und a/z ist ja nach Vors klein.
Gruss leduart
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