Entwicklung von Potenzreihen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Di 01.05.2007 | | Autor: | Jenny85 |
Hallo!
Habe die Aufgabe die folgende Funktion [mm] f(z)=\bruch{z-1}{(z-2)(z-3)}um z_{0}=-1 [/mm] in einer Potenzreihe zu entwickeln. Habe dafür die ersten Ableitungen und die zughörigen Werte für z=-1 berechnet. Erkenne aber leider keine Regelmäßigkeit. Gibt es auch noch eine andere Möglichkeit als über taylor und die k-te Ableitung ? Oder erkennt jemand bei den Werten eine Regelmäßigkeit (f=-1/6, f1=-1/72, f2=5/432, f3=47/1728, f4=269/5184, f5=6595/62208,... )
Wäre toll wenn mir jemand elfen könnte
Mit freundlichen Grüßen
Jenny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:55 Di 01.05.2007 | | Autor: | wauwau |
also ich würde das folgendermaßen machen.
Das riecht ja alles nach geom. Reihe
[mm] \bruch{z-1}{(z-2)(z-3)}= -\bruch{1}{z-2} [/mm] + [mm] \bruch{2}{z-3} [/mm] =
[mm] \bruch{1}{3-(z+1)}-\bruch{2}{4-(z+1)}=
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3}*\bruch{1}{1-\bruch{z+1}{3}}-\bruch{2}{4}*\bruch{1}{1-\bruch{z+1}{4}}
[/mm]
so jetzt hast du lauter geometr. Reihen da stehen Zusammenfassung der Koeffizienten bringt:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}(\bruch{1}{3}*(\bruch{1}{3})^{n})-\bruch{1}{2}*(\bruch{1}{4})^{n})*(z+1)^{n} [/mm] =
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}(\bruch{1}{3^{n+1}}-\bruch{1}{2^{2n+1}})*(z+1)^{n}
[/mm]
für n=0, 1,... kommen auch deine mittels Ableitung berechneten Werte raus.
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