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Forum "Uni-Stochastik" - Erwartungswert von Funktion
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Erwartungswert von Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:18 Do 08.12.2011
Autor: Fatih17

Aufgabe
Die Pareto-Verteilung wird des ofteren in der Risikotheorie eingesetzt. Sie liefert nur
oberhalb eines Schwellenwertes b positive Wahrscheinlichkeiten. Die Dichte einer Paretoverteilten
Zufallsvariablen X  Pareto (b; a) mit den reellwertigen Parametern b > 0
und a > 0 lautet f(x) = a [mm] *b^{a}*x^{-a-1}. [/mm]

Berechnen sie den Erwartungswert und die Varianz.

Hallo,

ich habe die oben genannte Funktion.

Die allgemeine Formel für die Berechnung des Erwartungswertes lautet:

E(X) = [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{x*f(x) dx} [/mm]

Soweit bin ich gekommen:

[mm] [\bruch{a * b^{a} * x^{1-a}}{1-a}] [/mm]

nur wie setze ich jetzt unendlich dafür ein?

Danke im voraus.
MFG
Fatih



        
Bezug
Erwartungswert von Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:42 Do 08.12.2011
Autor: kamaleonti

Hallo Fatih17,
> Die Pareto-Verteilung wird des ofteren in der
> Risikotheorie eingesetzt. Sie liefert nur
>  oberhalb eines Schwellenwertes b positive
> Wahrscheinlichkeiten. Die Dichte einer Paretoverteilten
>  Zufallsvariablen X  Pareto (b; a) mit den reellwertigen
> Parametern b > 0
>  und a > 0 lautet f(x) = a [mm]*b^{a}*x^{-a-1}.[/mm]

Das stimmt so nicht, vermutlich habt ihr definiert:

    f(x)= [mm] \begin{cases}\displaystyle a b^a x^{-a-1} & x\geq b \\ 0 & x

>  
> Berechnen sie den Erwartungswert und die Varianz.
>  Hallo,
>  
> ich habe die oben genannte Funktion.
>  
> Die allgemeine Formel für die Berechnung des
> Erwartungswertes lautet:
>  
> E(X) = [mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{x*f(x) dx}[/mm]
>  
> Soweit bin ich gekommen:
>  
> [mm][\bruch{a * b^{a} * x^{1-a}}{1-a}][/mm]
>  
> nur wie setze ich jetzt unendlich dafür ein?

Bei uneigentlichen Integralen muss man einen Grenzwert bilden, hier ist

      [mm] $E(X)=\lim\limits_{t\to\infty}\int_{\blue{b}}^t [/mm] x f(x) dx$

LG

P.S: Gehst Du wirklich noch in die Schule?

Bezug
                
Bezug
Erwartungswert von Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:03 Do 08.12.2011
Autor: Fatih17

Hallo nochmal,

erstmal danke für die Antwort. Das ganz oben ist aus der Aufgabe kopiert.

Warum ist denn das Integral von "b" bist "t" und wie soll ich t einsetzen? Dann habe ich doch nur noch mehr variablen, oder?

MFG

Bezug
                        
Bezug
Erwartungswert von Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:38 Do 08.12.2011
Autor: Blech


> Warum ist denn das Integral von "b" bist "t" und wie soll ich t einsetzen?

1. Warum es von b losgeht hat er doch schon geschrieben. Die Dichte ist 0 für x<b.

2. Warum es bis t geht, hat er auch schon geschrieben:
[mm] $\int_0^\infty [/mm] g(x)\ dx= [mm] \lim_{t\to\infty} \int_0^t [/mm] g(x)\ dx$
nach Definition.

3. Wie würdest Du jeden beliebigen anderen Wert einsetzen? So setzt Du auch t ein.

4.

> Dann habe ich doch nur noch mehr variablen, oder?

t verschwindet ja sofort wieder, wenn Du den Grenzwert bildest.



ciao
Stefan


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