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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Do 26.11.2009 | | Autor: | JanaM. |
| Aufgabe | | Geben Sie sämtliche Teilmengen von [(1,2), (0,0), (-1,0), (2,1), (0,1)] an, die ein Erzeugendensystem im R² bilden. |
Zu dieser Frage habe ich zwei unterschiedliche Lösungsansätze...
Der erste wäre, dass man sich alle möglichen Zweierkombinationen der 5 Vektoren aufschreibt und dann nacheinander durchgeht, ob sich durch Kombination beider die Einheitsvektoren (0,1) und (1,0) darstellen lassen. Dies habe ich gemacht, allerdings komme ich so zu dem Schluss, dass keine der Kombinationn jeweils beide Einheitsvektoren darstellen kann, was ja bedeuten würde, dass es hier gar keine Erzeugendensysteme zu finden gibt :(
... aber ich glaube, der Ansatz ist falsch....
Mein zweiter Ansatz: ich setze (x1,x2)=a(Vektor1)+b(Vektor2)
... auch hier habe ich begonnen, dieses System mit allen Zweierkombinationen der oben geschriebenen Vektoren umzustellen, so dass ich am Ende auf die Werte für a und b, also die Skalare gekommen bin.
Ein Beispiel:
[mm] (x_{1},x_{2})=a(1,2)+b(-1,0)
[/mm]
--> [mm] x_{1}= [/mm] a-b
--> [mm] x_{2}= [/mm] 2a
durch Umstellen komme ich dann zu dem Ergebniss, dass [mm] a=0,5x_{2}
[/mm]
und [mm] b=0,5x_{2}-x_{1}.
[/mm]
Ich hätte gern von euch gewusst, ob ich auf dem richtigen Weg bin... und wann es sich um ein Erzeugendensystem handelt, denn ich kann im Moment leider noch nicht erkennen, ob es sich beim oben genannten Beispiel um ein EZ handelt oder nicht :(
Danke schon einmal für die Hilfe :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Jana und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Geben Sie sämtliche Teilmengen von [(1,2), (0,0), (-1,0),
> (2,1), (0,1)] an, die ein Erzeugendensystem im R² bilden.
> Zu dieser Frage habe ich zwei unterschiedliche
> Lösungsansätze...
>
> Der erste wäre, dass man sich alle möglichen
> Zweierkombinationen der 5 Vektoren aufschreibt und dann
> nacheinander durchgeht, ob sich durch Kombination beider
> die Einheitsvektoren (0,1) und (1,0) darstellen lassen.
> Dies habe ich gemacht, allerdings komme ich so zu dem
> Schluss, dass keine der Kombinationn jeweils beide
> Einheitsvektoren darstellen kann, was ja bedeuten würde,
> dass es hier gar keine Erzeugendensysteme zu finden gibt
> :(
> ... aber ich glaube, der Ansatz ist falsch....
>
> Mein zweiter Ansatz: ich setze
> (x1,x2)=a(Vektor1)+b(Vektor2)
> ... auch hier habe ich begonnen, dieses System mit allen
> Zweierkombinationen der oben geschriebenen Vektoren
> umzustellen, so dass ich am Ende auf die Werte für a und
> b, also die Skalare gekommen bin.
>
> Ein Beispiel:
>
> [mm](x_{1},x_{2})=a(1,2)+b(-1,0)[/mm]
> --> [mm]x_{1}=[/mm] a-b
> --> [mm]x_{2}=[/mm] 2a
> durch Umstellen komme ich dann zu dem Ergebniss, dass
> [mm]a=0,5x_{2}[/mm]
> und [mm]b=0,5x_{2}-x_{1}.[/mm]
>
> Ich hätte gern von euch gewusst, ob ich auf dem richtigen
> Weg bin... und wann es sich um ein Erzeugendensystem
> handelt, denn ich kann im Moment leider noch nicht
> erkennen, ob es sich beim oben genannten Beispiel um ein EZ
> handelt oder nicht :(
>
> Danke schon einmal für die Hilfe :)
Mache dir nicht zuviel Arbeit.
Der [mm] $\IR^2$ [/mm] ist doch 2-dimensional, dh. eine Basis besteht aus linear unabh. Vektoren [mm] $\vec{x},\vec{y}\in\IR^2$
[/mm]
Schaue also, dass du aus deiner Menge in dein EZS je ein Paar linear unabh. Vektoren reinpackst, dann kannst du beliebige weitere hinzufügen.
So sind beispielsweise der erste und dritte Vektor linear unabh. (es sind ja keine Vielfachen voneinander), also spannen dir $(1,2),(-1,0)$ schonmal den [mm] $\IR^2$ [/mm] auf, es ist sogar eine Basis=minimales EZS. Zu den beiden kannst du nun beliebige weitere Vektoren aus deiner Menge hinzupacken ...
So kannst du mit jedem Paar linear unabh. Vektoren aus deiner Menge verfahren ...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Do 26.11.2009 | | Autor: | JanaM. |
Danke für die schnelle Antwort... war sehr erfreut darüber und habe gut verstanden, was du erklärt hast.^^
... und jetzt werd ich mich gleich mal weiter dran machen, diese Aufgabe zu lösen :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Sa 28.11.2009 | | Autor: | JanaM. |
So, alles gemacht :)
Ich komme auf 6 Zweierpärchen, die linear unabhängig sind. Dazu habe ich dann jeweils noch andere der Vektoren kombiniert und komme so (ohne Nullvektor) zu 11 verschiedenen Möglichkeiten für Erzeugendensysteme.
Diese Anzahl kommt mir allerdings recht merkwürdig vor... aber ich finde auch keine weitere Variante mehr, die ich nicht schon bereits notiert habe :(
Desweiteren bin ich mir auch nicht sicher, ob ich jeweils auch den Vektor (0,0) mit in die Varianten aufnehmen sollte, wodurch sich die Möglichkeiten auf 16 erhöhen wüden.
Könntet ihr mir dazu vielleicht noch eine kleine Hilfestellung geben?
Schon einmal vielen Dank :)
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> So, alles gemacht :)
>
> Ich komme auf 6 Zweierpärchen, die linear unabhängig
> sind.
Hallo,
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Ich auch.
Wenn Du wirklich alle Erzeugendensysteme aufschreiben sollst,
dann kommen dazu für jedes Zweierpaket noch
drei Mengen, die entstehen aus "Zweierpaket [mm] \cup [/mm] 1Vektor",
drei Mengen, die entstehen aus "Zweierpaket [mm] \cup [/mm] 2Vektoren",
wobei man aufpassen muß, daß man keine Menge doppelt aufschreibt - selbst aufschreiben und zählen mag ich das nicht.
Die Menge, die alle 5 Vektoren enthält, dürfen wir auch nicht vergessen.
Es gibt keinen Grund dafür, den Nullvektor fortzulassen.
Gruß v. Angela
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