Euklidischer Algorithmus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei K[x] der Ring der Polynome mit Koeffizienten aus dem Körper K. Seien [mm] f_{1}, f_{2} \in [/mm] K[x] beide nicht Null und [mm] grad(f_{2}) \le grad(f_{1}), f_{2}=q_{2}*f_{3}+f_{4}, [/mm] ....... , [mm] f_{k}=q_{k}*f_{k+1}+f_{k+2}, grad(f_{k+2}) \le grad(f_{k+1}) [/mm] , endend mit [mm] f_{n-1}=q_{n-1}*f_{n}+0 [/mm] , denn die Grade nehmen ab. Beweisen Sie:
(a) Seien [mm] f_{1}, f_{2}, [/mm] d:= [mm] f_{n} [/mm] wie im Euklidischen Algorithmus. Dann teilt d sowohl [mm] f_{1} [/mm] als auch [mm] f_{2}. [/mm] Angenommen g [mm] \in [/mm] K[x] teilt ebenfalls [mm] f_{1} [/mm] und [mm] f_{2}, [/mm] dann folgt, dass g das Polynom d teilt. Also: d ist der größte gemeinsame Teiler von [mm] f_{1} [/mm] und [mm] f_{2}.
[/mm]
(b) Es gibt Polynome p,g [mm] \in [/mm] K[x], so dass gilt:
[mm] d=p*f_{1}+q*f_{2}
[/mm]
(c) Haben die nichtverschwindenden Polynome f,g nur konstante gemeinsame Teiler, so gibt es Polynome p,q, so dass
p*f + q*g = 1 gilt. |
hallo!
ich habe hier leider keine ahnung wie ich die 3 sachen beweisen soll. dass (in (a)) d [mm] f_{1} [/mm] und [mm] f_{2} [/mm] teilt kriege ich noch hin, dann hörts aber auchschon auf. hat jemand nen tipp für mich??? vielen dank im vorraus....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 05.07.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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