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Hallöchen,
ich verbringe das Wochenende immer noch mit dem Nacharbeiten meines Skriptes und bin auf kleinere Probleme bei einem Einführungsbeweis der Thematik gestoßen.
Es geht um den Satz:
Für n [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] \summe_{d|n} \phi(d)=n.
[/mm]
Ich verstehe die BEweisführung an sich auch. Ich verstehe nur den letzten Schritt nicht und zwar warum:
[mm] \summe_{d|n} \phi(\frac{n}{d}) [/mm] = [mm] \summe_{d|n} \phi(n)
[/mm]
ich habe mir das an Beispielen veranschaulicht das es stimmt. Mir ist nur leider formal nicht klar warum. Kann mir das bitte jemand erklären?
Liebe Grüße
Schmetterfee
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moin Schmetterfee,
Sicher, dass es nicht so aussieht?
$ [mm] \summe_{d|n} \varphi(\frac{n}{d}) [/mm] $ = $ [mm] \summe_{d|n} \varphi(\red{d}) [/mm] $
Mit dem $n$ war die Aussage nämlich falsch.^^
Zur Erklärung:
Es wird hier die Summe einfach umsortiert.
Ist $d$ ein Teiler von $n$, so ist auch [mm] $\frac{n}{d}$ [/mm] ein Teiler von $n$.
Mach dir mal klar, wieso gilt:
[mm] $\{ d ; d | n \} [/mm] = [mm] \{ \frac{n}{d} ; \frac{n}{d} | n \} [/mm] = [mm] \{ \frac{n}{d} ; d | n \}$
[/mm]
Hier wird wie gesagt die Tatsache benutzt, dass es zu einem Teiler $d$ von $n$ genau einen weiteren Teiler [mm] $\frac{n}{d}$ [/mm] gibt mit [mm] $\frac{n}{d} [/mm] | n$ und [mm] $d*\frac{n}{d} [/mm] = n$.
Mit diesem "genau einer" kann man dann eine Bijektion zwischen obigen Mengen basteln, diese sind also gleich mächtig.
Hat man nun eine Menge von Teilern von $n$, die genauso mächtig ist wie die Menge aller Teiler, dann wird das wohl auch die Menge aller Teiler sein.^^
Wenn noch Fragen sind immer her damit.
lg
Schadow
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Hallöchen,
ja war ein Schreibfehler von mir. Jetzt ist mir der Sachverhalt aber klar. Danke für die Erklärung.
Liebe Grüße
Schmetterfee
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