Ex. eines surj.Hom. < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Z.z.: Es gibt genau einen surjektiven Gruppenhom. [mm] \phi: \IZ \to {\pm 1}=\IZ^{x}. [/mm] Bestimme den Kern der Abbildung und folgere daraus, dass [mm] (\IZ,+) [/mm] nicht isomorph zu [mm] (\IZ^{x},*) [/mm] ist. |
Hallo,
bei diesem Beweis muss man Existenz und Eindeuttigkeit einer solchen Abbildung zeigen. Da die Abbildung surjektiv sein soll,muss doch gelten: Zu jedem Element in [mm] \IZ^{x}={\pm1} [/mm] existieren a,b [mm] \in \IZ [/mm] mit [mm] \phi(a) =\pm [/mm] 1 bzw. [mm] \phi(b)=\pm [/mm] 1.
Die Abbildung ist nicht injektiv,das heißt doch, dass nicht zwangsläufig a und b gleich sein müssen, falls [mm] \phi(a) [/mm] = [mm] \phi [/mm] (b) = 1 oder -1 gilt, für a [mm] \not=b. [/mm] Also ist [mm] \phi [/mm] nicht isomorph (=bijektiver Hom.).
Wie zeige ich die Existenz?
Hier ist doch z.z., dass [mm] \phi(a+b) [/mm] = [mm] \phi(a) [/mm] * [mm] \phi(b) [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1 ist. Aber wie zeigt man das hier genau?
Bei der eindeutigkeit muss man doch einen Konkurrenten [mm] \phi* [/mm] nehmen, und zeigen, dass [mm] \phi*=\phi [/mm] ist.Wie geht man da genau vor?
Der Kern der Abb. ist ker [mm] \phi={z \in \IZ | \phi(z) =1}. [/mm]
Stimmts?
KAnn mir bitte jemand weiterhelfen?
Vielen Dank,
Milka
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:13 Mi 08.11.2006 | | Autor: | Milka_Kuh |
Kann mir bitte jemand einen kleinen Tipp für diese Aufgabe geben? Ich komm einfach nicht drauf, wie man diesen surjektiven Gruppenhomomorphismus konkret definieren soll. Dann muss ich ja noch zeigen, dass diese Abbildung nicht bijektiv ist, also zeigen, dass keine Inversenabbildung existiert. Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
Vielen Dank im Voraus.
Gruß, Milka
|
|
|
| |
|
Hallo Milka,
> Z.z.: Es gibt genau einen surjektiven Gruppenhom. [mm]\phi: \IZ \to {\pm 1}=\IZ^{x}.[/mm]
> Bestimme den Kern der Abbildung und folgere daraus, dass
<snip>
> Wie zeige ich die Existenz?
> Hier ist doch z.z., dass [mm]\phi(a+b)[/mm] = [mm]\phi(a)[/mm] * [mm]\phi(b)[/mm] =
> [mm]\pm[/mm] 1 ist. Aber wie zeigt man das hier genau?
Hier kannst Du einfach einen Homomorphismus angeben - denk mal an die Rechenregeln fürs Potenzieren  .
> Bei der eindeutigkeit muss man doch einen Konkurrenten
> [mm]\phi*[/mm] nehmen, und zeigen, dass [mm]\phi*=\phi[/mm] ist.Wie geht man
> da genau vor?
Hm, Du nimmst an, daß es eine weitere Abbildung [mm] $\phi^{'}\colon \IZ \to \{\pm 1\}$ [/mm] mit den geforderten Eigenschaften gibt; da hilft Dir sicher einer der Isomorphiesätze. Mehr verrat' ich jetzt nicht
Hth
zahlenspieler
|
|
|
| |
|
Hallo zahlenspieler,
erstmal danke für deine Antwort. Ich habe versucht, mit deinen Tipps weiterzuarbeiten. Bin aber nicht ganz zum Ziel gekommen, weil mir manchen nicht ganz klar ist.
> > Wie zeige ich die Existenz?
> > Hier ist doch z.z., dass [mm] \phi(a+b)=\phi(a)*\phi(b)[/mm] [/mm]
Aber wie zeigt man das hier genau?
>Hier kannst Du einfach einen Homomorphismus angeben - denk
> mal an die Rechenregeln fürs Potenzieren
Hier habe ich folgendes gemacht:
Ich weiß, dass [mm] \IZ [/mm] = <1> ={z*1 | z [mm] \in \IZ} [/mm] gilt.
Also kann ich doch [mm] \phi [/mm] schreiben als: z [mm] \mapsto \begin{cases} (\pm 1)^{z}, & \mbox{für } z \mbox{größer gleich 0} \\ (\pm 1)^{|z|}, & \mbox{für } z \mbox{kleiner 0} \end{cases}
[/mm]
Stimmt das?
Dann hab ich das ausgenutzt, und folgendes gemacht:
Existenz: z.z. [mm] \phi [/mm] (a+b) = [mm] \phi(a) [/mm] * [mm] \phi(b)
[/mm]
Ich habe nun [mm] \phi(a) [/mm] = [mm] (\pm 1)^{a} [/mm] und [mm] \phi(b) [/mm] = [mm] (\pm 1)^{b} [/mm] gesetzt (s.o)
und weiter gitl ja auch [mm] \phi(a+b)= (\pm 1)^{a+b}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } a+b \mbox{ gerade} \\ -1, & \mbox{für } a+b \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Dann sieht man ja schon sofort:
a+b ist genau dann gerade, wenn a und b beide positiv bzw negativ sind. Also ist 1 das Ergebnis von links. Aber rechts steht dann auch [mm] \phi(a)*\phi(b)= [/mm] 1*1=1 bzw. (-1)*(-1)=1 dort. Also stimmt es doch, oder?
Analog mach ich das für den Fall a+b ungerade, gdw eins von beiden pos. und das andere neg. ist. also kommt -1 lins raus. Und rechts steht dann 1*(-1)=-1 oder (-1)*1=-1 je nacdem ob a gerade oder ungerade ist. Also stimmt es auch.
Ist meine Idee richtig?
> > Bei der eindeutigkeit muss man doch einen Konkurrenten
> > [mm]\phi*[/mm] nehmen, und zeigen, dass [mm]\phi*=\phi[/mm] ist.Wie geht man
> > da genau vor?
> Hm, Du nimmst an, daß es eine weitere Abbildung
> [mm]\phi^{'}\colon \IZ \to \{\pm 1\}[/mm] mit den geforderten
> Eigenschaften gibt; da hilft Dir sicher einer der
> Isomorphiesätze. Mehr verrat' ich jetzt nicht
Bei der Eindeutigkeit muss ich doch eigentlich genau das gleiche wie oben machen oder , nur eben mit [mm] \phi' [/mm] statt phi, und dann sieht man ja das es das gleiche sein muss, und hab so die eindeutigkeit gezeigt oder? Hier bitte nochmal helfen, wenn meine Idee falsch ist...
Wenn man dann zeigen will dass [mm] \IZ [/mm] nicht isomorprh zu [mm] \IZ,+ [/mm] ist, dann reicht doch zu zeigen, dass [mm] \phi [/mm] nicht injektiv ist, denn die obige von mir def. Abb. ist offenbar surjektiv [mm] \phi(a)= (\pm 1)^{a}
[/mm]
Und bei der Injektivität hab ich da so meine Schwierigkeiten:
Es idt irgendwie kalr, dass wenn z.b. aus [mm] (-1)^{2}=(-1)^{4} [/mm] folgt, dass [mm] 2\not=4 [/mm] ist. Und das eben für alle Fälle, die es gibt, also wenn a, b gerade und ungerade, und a gerade, und b ungerade bzw umgekehrt für 1 und (-1).
Aber wie schreib ich das formal auf?
Der Kern von [mm] \phi [/mm] ist dann: ker [mm] \phi\phi={z\in \IZ|\phi(z)=1}={2k| k \in \IZ}, [/mm] denn nur bei geraden Exponenten wird [mm] (\pm [/mm] 1) zu 1. Stimmt das?
Vielen dank!!!
Gruß, Milka
|
|
|
| |
|
Hallo Milka!
Eine Antwort hier auf dem Forum mit den ganzen Formelzeichen und so ist mir ehrlich gesagt jetzt gerade (nur jetzt und für diese Aufgabe) zu umständlich, aber: Wenn mich nicht alles täuscht, handelt es sich bei Deiner Aufgabe um eine Hausaufgabe, die ich auch nächsten Dienstag abgeben muß.
Wenn ich also richtig liege, und Du Interesse hast, bin ich auf jeden Fall spätestens diesen Freitag in der Funktionalanalysis im B006 von 9 bis 11 und anschließend im selben Hörsaal von 11 bis 13 Uhr anzutreffen.
Man erkennt mich leicht: Ca. 1,70m groß, rotbraune, etwas längere Haare, keine (!) Brille, hellblauer Rucksack, wahrscheinlich gerade einen Kaffee trinkend oder einen Schoko-Muffin essend (aber verlass' Dich lieber auf die anderen Merkmale), und auf jeden Fall in einer der vorderen Reihen.
Ansonsten bin ich auch noch am Montag von 9 bis 11 im Raum B251 (Mathe-Turm) im Algebra-Tutorium zu finden.
Die Lösung hab ich jedenfalls schon.
Liebe Grüße,
Alex
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:59 Do 09.11.2006 | | Autor: | Milka_Kuh |
Hallo Alex,
vielen Dank für dein Angebot. Aber ich besuch die Vorlesung nicht, die du besuchst. Ich mach die Aufgaben aber trotzdem. Bin an den beiden genannten Tagen auch nicht im Haus.
Gruß, Milka
|
|
|
| |
|
Hallo Milka,
> Hallo zahlenspieler,
> erstmal danke für deine Antwort. Ich habe versucht, mit
> deinen Tipps weiterzuarbeiten. Bin aber nicht ganz zum Ziel
> gekommen, weil mir manchen nicht ganz klar ist.
> > > Wie zeige ich die Existenz?
> > > Hier ist doch z.z., dass [mm]\phi(a+b)=\phi(a)*\phi(b)[/mm][/mm]
> Aber wie zeigt man das hier genau?
> >Hier kannst Du einfach einen Homomorphismus angeben -
> denk
> > mal an die Rechenregeln fürs Potenzieren
> Hier habe ich folgendes gemacht:
> Ich weiß, dass [mm]\IZ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= <1> ={z*1 | z [mm]\in \IZ}[/mm] gilt.
> Also kann ich doch [mm]\phi[/mm] schreiben als: z [mm]\mapsto \begin{cases} (\pm 1)^{z}, & \mbox{für } z \mbox{größer gleich 0} \\ (\pm 1)^{|z|}, & \mbox{für } z \mbox{kleiner 0} \end{cases}[/mm]
Schaaade, so ist es noch keine Abbildung: Wenn ich hier z.B. 3 einsetze? Krieg ich wegen [mm] $\pm [/mm] 1$ einmal +1, einmal -1 heraus. Aber Du bist seehr na dran .
>
>
> > > Bei der eindeutigkeit muss man doch einen Konkurrenten
> > > [mm]\phi*[/mm] nehmen, und zeigen, dass [mm]\phi*=\phi[/mm] ist.Wie geht man
> > > da genau vor?
> > Hm, Du nimmst an, daß es eine weitere Abbildung
> > [mm]\phi^{'}\colon \IZ \to \{\pm 1\}[/mm] mit den geforderten
> > Eigenschaften gibt; da hilft Dir sicher einer der
> > Isomorphiesätze. Mehr verrat' ich jetzt nicht
>
> Bei der Eindeutigkeit muss ich doch eigentlich genau das
> gleiche wie oben machen oder , nur eben mit [mm]\phi'[/mm] statt
> phi, und dann sieht man ja das es das gleiche sein muss,
> und hab so die eindeutigkeit gezeigt oder? Hier bitte
> nochmal helfen, wenn meine Idee falsch ist...
> hab ich da so meine Schwierigkeiten:
> Es idt irgendwie kalr, dass wenn z.b. aus
> [mm](-1)^{2}=(-1)^{4}[/mm] folgt, dass [mm]2\not=4[/mm] ist. Und das eben für
> alle Fälle, die es gibt, also wenn a, b gerade und
> ungerade, und a gerade, und b ungerade bzw umgekehrt für 1
> und (-1).
> Aber wie schreib ich das formal auf?
> Der Kern von [mm]\phi[/mm] ist dann: ker [mm]\phi\phi={z\in \IZ|\phi(z)=1}={2k| k \in \IZ},[/mm]
> denn nur bei geraden Exponenten wird [mm](\pm[/mm] 1) zu 1. Stimmt
> das?
Ja, wenn Du zeigen kannst, daß [mm]\operatorname{ker}(\phi')[/mm] [mm] $2\IZ$ [/mm] ist - und auf jeden Fall ist [mm] $\phi'(0)=1=\phi(0)$; [/mm] dann stimmen beide Abbildungen schon mal für alle geraden Zahlen überein.
Ich merk' es ist schon spät, also wenns jetzt nich so ganz druckreif wird ...
Weil Du [mm] $\phi'$ [/mm] als surjektiv angenommen hast, z.B. die 1 aber nicht im Kern von [mm] $\phi'$ [/mm] liegt, muß auch [mm] $\phi')1=-1$ [/mm] sein. Und damit bist Du schon quasi durch mit der Eindeutigkeit.
Der Kern hat ja auch die schöne Eigenschaft, daß alle Elemente einer Nebenklasse nach dem Kern das selbe Bild haben.
Mfg
zahlenspieler
|
|
|
| |
|
Hallo zahlenspieler,
also danke für den Hinweis zur Abbildung; so wie ich sie definiert habe kann es gar keine mathematisch korrekte Funktion sein, da einem x-Wert 2 verschiedene y-Werte zugeordnet werden können. Also habe ich sie nun so abgeändert:
> > Also kann ich doch [mm]\phi[/mm] schreiben als: z [mm]\mapsto \begin{cases} (\pm 1)^{z}, & \mbox{für } z \mbox{größer gleich 0} \\ (\pm 1)^{|z|}, & \mbox{für } z \mbox{kleiner 0} \end{cases}[/mm]
>
> Schaaade, so ist es noch keine Abbildung: Wenn ich hier
> z.B. 3 einsetze? Krieg ich wegen [mm]\pm 1[/mm] einmal +1, einmal -1
> heraus. Aber Du bist seehr na dran .
Neu:
[mm] \phi: [/mm] z [mm]\mapsto \begin{cases} (1)^{z}, & \mbox{für } z \mbox{größer gleich 0} \\ (-1)^{|z|}, & \mbox{für } z \mbox{kleiner 0} \end{cases}[/mm]
So hab ich den oben genannten Fehler nicht mehr. Stimmt die Abbildung nun???? Ich hoffe es. Somit ist die Existenz eines surjektiven Gruppenhomomorphismus gezeigt, denn es gilt für alle a,b [mm] \in (\IZ,+): \phi(a+b) [/mm] = [mm] \phi(a)*\phi(b) [/mm] nach den Rechenregeln des Potenzierens. Richtig?
Der Kern ker [mm] \phi [/mm] sieht so aus:
ker [mm] \phi [/mm] = { z [mm] \in \IZ [/mm] mit [mm] \phi(z)=1 [/mm] } = [mm] \begin{cases} {\IZ}, & \mbox{für } \mbox{ \phi(z)=1^{z}} \\ {2k,k \in \IZ}, & \mbox{für } \mbox{ \phi(z)=(-1)^{|z|}} \end{cases} [/mm]
Somit kann ich nun die Eindeutigkeit von [mm] \phi [/mm] zeigen :
> > > Hm, Du nimmst an, daß es eine weitere Abbildung
> > > [mm]\phi^{'}\colon \IZ \to \{\pm 1\}[/mm] mit den geforderten Eigenschaften gibt; da hilft Dir sicher einer der
> > > Isomorphiesätze.
> Ja, wenn Du zeigen kannst, daß [mm]\operatorname{ker}(\phi')[/mm]
> [mm]2\IZ[/mm] ist - und auf jeden Fall ist [mm]\phi'(0)=1=\phi(0)[/mm]; dann
> stimmen beide Abbildungen schon mal für alle geraden Zahlen
> überein.
> Weil Du [mm]\phi'[/mm] als surjektiv angenommen hast, z.B. die 1
> aber nicht im Kern von [mm]\phi'[/mm] liegt, muß auch [mm]\phi')1=-1[/mm]
> sein. Und damit bist Du schon quasi durch mit der
> Eindeutigkeit.
Es gilt [mm] \phi(1)=(-1)^{1}=-1 [/mm] (siehe meine Definition des Kerns). Also git auch für [mm] \phi'(1)=-1. [/mm] Also ist die Eindeutigkeit gezeigt, oder?
Die Nicht.Injektivität von [mm] \phi [/mm] habe ich so gezeigt:
1.Fall: z gerade, z >0: [mm] \phi(z)=\phi(z'), [/mm] z.z.: z [mm] \not= [/mm] z'
Dann steht links [mm] \phi(z)=1^{z}=1, [/mm] und rechts [mm] \phi(z')=1^{z'}=1, [/mm] aber das gilt auch für z [mm] \not=z' \Rightarrow [/mm] Nicht injektiv
2.Fall: z ungerade, z >0: analog
3.Fall: z gerade, z <0
4.Fall: z ungerade, z <0
Vielen Dank!
Milka
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mi 15.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
