Existenz Linearer Abb. zeigen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Mo 16.01.2006 | | Autor: | smee |
| Aufgabe | V sei ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] mit Basis B = [mm] (b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}).
[/mm]
Man zeige, dass es genau eine lin. Abb. gibt f: V -> V mit
(a) f [mm] \circ [/mm] f = f und
(b) [mm] f(b_{1} [/mm] + [mm] 2b_{3} [/mm] + [mm] b_{4}) [/mm] = [mm] b_{1} [/mm] + [mm] b_{2} [/mm] - [mm] b_{3} [/mm] - [mm] b_{4} [/mm] und
(c) [mm] f(2b_{1} [/mm] + [mm] b_{2} [/mm] - [mm] b_{3}) [/mm] = [mm] b_{1} [/mm] + [mm] b_{3} [/mm] |
Hallo liebe Mathe-Profis 
Mir ist bei der Aufgabe im Augenblick überhaupt nicht klar, wie ich da ran gehen soll ...
(Das Thema, das bei uns z.Zt. dran ist, ist u.a. die Darstellung von lin. Abb. durch Matrizen. Der zweite Aufgabenteil ist dann auch entsprechend: "Bestimme Mat(f) zur Basis B" ... nur so als Hintergrundinfo)
Ich habe ein wenig mit den Gleichungen rumgespielt, nur weiß ich gar nicht genau, worauf ich eigentlich hinaus will, deshalb ist das alles etwas ziellos ... (ok, da muss ein Existenz- und Eindeutigkeitsbeweis hin, aber wie konstruiere ich den aus den Voraussetzungen?)
Ich wäre für jede Starthilfe sehr dankbar 
Gruß,
Carsten
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Hallo Carsten,
Aus den Gleichungen und der Bedingung [mm] f\circ [/mm] f=f bekommst Du ja noch
[mm] f(b_1+b_2-b_3-b_4)=b_1+b_2-b_3-b_4
[/mm]
und
[mm] f(b_1+b_3)=b_1+b_3
[/mm]
Koenntest Du jetzt zeigen, dass auch die vier Vektoren
[mm] b_1+2b_3+b_4
[/mm]
[mm] 2b_1+b_2-b_3
[/mm]
[mm] b_1+b_2-b_3-b_4
[/mm]
[mm] b_1+b_3
[/mm]
eine Basis von V bilden, so ist also mit den insgesamt vier Gl. f auf dieser neuen Basis
definiert, somit existent und eindeutig.
Du koenntest zB die Koeff.darstellung der vier Vektoren bzg. der alten Basis in eine
Matrix schreiben und testen, ob diese vollen Rang hat.
Viele Gruesse,
Mathias
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