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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Di 01.07.2014 | | Autor: | rose1 |
| Aufgabe | Zeigen Sie :
(i) 1+x [mm] \le [/mm] exp(x) für alle x [mm] \in \IR [/mm] und 1+x=exp(x) [mm] \gdw [/mm] x=0
(ii) [mm] \bruch{u-1}{u} \le [/mm] log(u) [mm] \le [/mm] u-1 für alle u [mm] \in ]0,\infty[ [/mm] . Gleichheit gilt genau dann, wenn u=1. |
Wir haben in der Vorlesung die Exponentialfunktion durch [mm] exp:\IR \rightarrow ]0,\infty[ [/mm] , x [mm] \to [/mm] exp [mm] :=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^k}{k!} [/mm] und den natürlichen Logarithmus [mm] log:]0,\infty[\to \IR [/mm] , [mm] x\to [/mm] log(x) als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.
wie kann ich das zeigen? was muss ich hier genau machen ?
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
und von mir ein herzlichen Willkommen im Matheraum!
> Zeigen Sie :
> (i) 1+x [mm]\le[/mm] exp(x) für alle x [mm]\in \IR[/mm] und 1+x=exp(x) [mm]\gdw[/mm]
> x=0
> (ii) [mm]\bruch{u-1}{u} \le[/mm] log(u) [mm]\le[/mm] u-1 für alle u [mm]\in ]0,\infty[[/mm]
> . Gleichheit gilt genau dann, wenn u=1.
> Wir haben in der Vorlesung die Exponentialfunktion durch
> [mm]exp:\IR \rightarrow ]0,\infty[[/mm] , x [mm]\to[/mm] exp
> [mm]:=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^k}{k!}[/mm] und den
Na das ist doch super. Wenn ihr die Reihendarstellung habt, dann ist die Aufgabe wirklich recht easy.
Also noch einmal ganz langsam:
Zeigen sollst du zunächst, dass
[mm] 1+x\le\exp{x} [/mm] für alle [mm] x\in\IR
[/mm]
Nun weißt du, dass für [mm] \exp{x} [/mm] gilt: [mm] \exp{x}=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}=1+x+x^2+x^3+...
[/mm]
Nun kann man sich erst einmal überlegen: Für alle x>0 gilt das offensichtlich auf jeden Fall. Mache dir noch klar, warum das ganze auch für x<0 gilt.
NACHTRAG:
Wenn ihr auch die die Definition mit dem Grenzwert hattet
[mm] \lim_{n\to\infty}(1+x/n)^{n}=e^x
[/mm]
Dann kannst du auch mal die Bernoullische Ungleichung bemühen.
Für die Behauptung
[mm] 1+x=\exp(x)\gdw{}x=0
[/mm]
musst du zwei Richtung zeigen.
[mm] (\Rightarrow) [/mm] ist dabei ein bisschen unangenehmer als die Richtung [mm] (\Leftarrow). [/mm] Probier es einfach mal.
> natürlichen Logarithmus [mm]log:]0,\infty[\to \IR[/mm] , [mm]x\to[/mm]
> log(x) als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.
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> wie kann ich das zeigen? was muss ich hier genau machen ?
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:15 Mi 02.07.2014 | | Autor: | rose1 |
Hallo Richi,
erstmal danke für deine hilfe.
Ich hab für [mm] 1+x\le [/mm] exp(x) so gezeigt :
es gilt nach def. [mm] exp(x)=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^k}{k!}
[/mm]
[mm] =1+x+\bruch{x^2}{2}+...
[/mm]
> 1+x
dann zur behauptung:
z.z 1+x=exp(x) [mm] \gdw [/mm] x=0
[mm] \Rightarrow [/mm] Sei 1+x=exp(x) dann gilt [mm] 1+x=exp(x)=\summe_{k=0}^{\infty} [/mm] ....
d.h. 1+x= [mm] 1+x+\summe_{k=2}^{\infty} [/mm] ...
durch umstellen bekomme ich dann [mm] 0=\bruch{x^2}{2!}+.....
[/mm]
somit ist dann x=0.
[mm] \Leftarrow [/mm]
hier nehme ich an,dass x=0 ist und setze in die gleichung
dann ist das ergebnis exp(0) .
wäre das richtig so ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:12 Mi 02.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Richi,
> erstmal danke für deine hilfe.
>
> Ich hab für [mm]1+x\le[/mm] exp(x) so gezeigt :
>
> es gilt nach def. [mm]exp(x)=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^k}{k!}[/mm]
>
> [mm]=1+x+\bruch{x^2}{2}+...[/mm]
> > 1+x
Das letzte ">" ist klar für x>0. Zeigen sollst Du auch noch: exp(x) [mm] \ge [/mm] 1+x für x [mm] \le [/mm] 0.
>
> dann zur behauptung:
> z.z 1+x=exp(x) [mm]\gdw[/mm] x=0
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Sei 1+x=exp(x) dann gilt
> [mm]1+x=exp(x)=\summe_{k=0}^{\infty}[/mm] ....
> d.h. 1+x=
> [mm]1+x+\summe_{k=2}^{\infty}[/mm] ...
> durch umstellen bekomme ich dann
> [mm]0=\bruch{x^2}{2!}+.....[/mm]
> somit ist dann x=0.
Wieso folgt daraus x=0 ?????
FRED
>
> [mm]\Leftarrow[/mm]
> hier nehme ich an,dass x=0 ist und setze in die gleichung
>
> dann ist das ergebnis exp(0) .
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>
> wäre das richtig so ?
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