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| Aufgabe | Gegeben ist $ [mm] f(x)=\bruch{e^x-2}{1+e^x} [/mm] $
Bestimme die Nullstellen, Extrema und Wendestellen!
Überprüfe auf Symmetrie! |
Hallo liebe Leute,
ich habe ein Problem mit einer Aufgabe und wäre euch sehr dankbar für eure Hilfe und eure zusätzlichen Erklärungen.
Also bei den Nullstellen, geht das ganze noch so einigermaßen, denke ich.
Damit f(x)=0 ist muss der Zähler ja auch Null sein, also [mm] e^x-2=0 [/mm] , also x=ln2
Das macht dann x=0,693
Nun muss ich die erste, zweite und dritte Ableitung bestimmen, um die Extrema und Wendestellen zu bestimmen.
Die erste Ableitung glaube ich bekomme ich hin:
$ [mm] f'(x)=\bruch{e^x\cdot{}(1+e^x)-(e^x-2)\cdot{}e^x}{(1+e^x)^2} [/mm] $
[mm] f'(x)=\bruch{e^x+e^{2x}-e^{2x}+2e^x}{(1+e^x)^2}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{3e^x}{(1+e^x)^2}
[/mm]
Ist das so richtig?
Und ist die Ableitung von [mm] f(x)=e^x [/mm]
[mm] f'(x)=e^x
[/mm]
Nun die zweite Ableitung, wo ich glaube, dass da einiges falsch ist:
[mm] f''(x)=\bruch{3e^x*(1+e^x)^2-(3e^x)*2*(1+e^x)^3*e^x}{(1+e^x)^4}
[/mm]
Und wie fasse ich das nun zusammen, sodass ich die dritte Ableitung bestimmen kann?
Für die Extrema muss ich die erste Ableitung gleich null setzen und das Ergebniss in die zweite Ableitung einsetzen. Wenn das Ergebniss größer 0 ist liegt ein Tiefpunkt vor, wenn es kleiner 0 ist, liegt ein Hochpunkt vor.
Aber wie kann ich das machen?
Also f'(x)=0 und dementsprechend [mm] 3e^x=0, [/mm] aber wie stelle ich es dann so um, dass x alleine steht?
Ich komme einfach nicht weiter. Ich wäre euch extremst dankbar wenn ihr mir helfen würdet, meine Fehler zu verbessern und mir zeigt, wie ich dann weiter rechnen kann.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Di 24.10.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
[mm] 3e^x=0 [/mm] |:3
[mm] e^x=0
[/mm]
x=ln(0)
Und diese Gleichung hat kein Ergebnis!
->keine Extremstellen.
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Danke für die schnelle Antwort,
ja, dass diese Gleichung keine Extrema hat, habe ich auch gerade festgestellt als ich das ganze mit einem online Grafiktaschenrechner berechnet habe.
Aber auch gesehen habe ich, dass die Gleichung einen Wendepunkt hat.
Und dafür brauche ich eben die 3 Ableitungen.
Es wäre sehr freundlich wenn ihr euch die angucken könntet und mir meine Fehler aufzeigen könnt und wenn möglich verbessert.
Vielen Dank schon jetzt!
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Also, ich denke, ich hab Deinen Fehler gefunden:
[mm] f^{''} [/mm] (x) = [mm] \bruch{3e^{x}*(1+e^{x})^{2} - 3e^{x}*2*e^{x}*(1+e^{x})}{((1+e^{x})^{2})^{2}}
[/mm]
[mm] f^{''} [/mm] (x) = [mm] \bruch{3e^{x}*(1+e^{x}) - 3e^{x}*2*e^{x}}{(1+e^{x})^{3}}
[/mm]
[mm] f^{''} [/mm] (x) = [mm] \bruch{3e^{x}+3e^{2x} - 6*e^{2x}}{(1+e^{x})^{3}}
[/mm]
[mm] f^{''} [/mm] (x) = [mm] \bruch{3e^{x}- 3*e^{2x}}{(1+e^{x})^{3}}
[/mm]
[mm] f^{''} [/mm] (x) = [mm] \bruch{3e^{x}*(1-e^{x})}{(1+e^{x})^{3}}
[/mm]
musst du sehen, mit welcher Zusammenfassung du am Besten Die 3.Ableitung berechnen kannst...ob nun eher mit der letzten oder der Vorletzten...
Du hast, soweit ich das gesehen habe, einmal ein [mm] e_{x} [/mm] als Innere Ableitung von [mm] (1+e^{x})^{2} [/mm] vergessen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 Di 24.10.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Sein_kleines,
sieht gut aus.
> Du hast, soweit ich das gesehen habe, einmal ein [mm]e_{x}[/mm] als
> Innere Ableitung von [mm](1+e^{x})^{2}[/mm] vergessen
ich glaube nicht.
Aber in
$ [mm] f''(x)=\bruch{3e^x\cdot{}(1+e^x)^2-(3e^x)\cdot{}2\cdot{}(1+e^x)^{\red{3}}\cdot{}e^x}{(1+e^x)^4} [/mm] $
ist eine merkwürdige 3. Potenz reingeraten...
Schöne Grüße,
ardik
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Lach, ja jetzt seh ichs auch....
ich hatte die Formel im Kopf zuerst andersrum aufgestellt im Zähler
also statt [mm] u^{'}*v-u*v^{'} [/mm] eben [mm] -u*v^{'}+u^{'}*v
[/mm]
da bin ich mit meinen Aufzeichnungen hier ein wenig durcheinandergekommen... 
PS: Freundliche Grüße aus Braunschweig ! :-D
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Daaankeschön,
ohja, da habe ich wohl [mm] n*(ax)^{n+1} [/mm] anstatt von [mm] n*(ax)^{n-1} [/mm] gerechnet.
Aber bei der dritten Ableitung komme ich trotzdem irgendwie nicht so richtig weiter...
Wenn ich mit [mm]f^{''}[/mm] (x) = [mm]\bruch{3e^{x}- 3*e^{2x}}{(1+e^{x})^{3}}[/mm] weiterrechne habe ich ja zwei Teile im Nenner stehen. Muss ich dann erst die Produktregel anwenden, also u'*v+u*v' und danach noch die normale Kettenregel? Weil in diesem Fall würde das ja ganz lang werden.
Würde dann die dritte Ableitung so heißen:
$ [mm] f'''(x)=\bruch{(3e^x-3e^{2x}\cdot{}3e^x-3e^{2x})\cdot{}(1+e^x)^3-(3e^x-3e^{2x})\cdot{}(1+e^x)^2\cdot{}3}{(1+e^x)^6} [/mm] $
[mm] f'''(x)=\bruch{(3e^x-3e^{2x}*3e^x-3e^{2x})*(1+e^x)^3-(3e^x-3e^{2x})*3}{(1+e^x)^4}
[/mm]
Kann das wirklich so stimmen? Und wenn denn das alles ausmultipliziert ist, ist das ja endlos lang...
Und auch: Wie setze ich die zweite Ableitung gegen null: [mm] 3e^x-3e^{2x}=0
[/mm]
Bitte um weitere Hilfe...
LG TryingHard
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> Wenn ich mit [mm]f^{''}[/mm] (x) = [mm]\bruch{3e^{x}- 3*e^{2x}}{(1+e^{x})^{3}}[/mm]
> weiterrechne habe ich ja zwei Teile im Nenner stehen.
Soweit richtig.
Du hast dort zunächst eine Summe:
[mm] u=3e^{x}- 3*e^{2x}
[/mm]
setze:
[mm] a=3e^{x}
[/mm]
[mm] b=-3*e^{2x}
[/mm]
dann ist:
[mm] u^{'}=a^{'}+b^{'}
[/mm]
[mm] a^{'} [/mm] und [mm] b^{'} [/mm] zu berechnen sollte nicht weiter schwer sein.
heißt also, du wendest erst die Ableitungsregel für Summen an, nämlich jeden Summanden einzeln für sich ableiten, und dann die Quotientenregel zur Berechnung der 3.Ableitung.
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Dann habe ich also $ [mm] f'''(x)=\bruch{3e^x-3e^{2x}\cdot{}(1+e^x)^3-(3e^x-3e^{2x})\cdot{}3}{(1+e^x)^4} [/mm] $
Oder?
Wie fasse ich das jetzt zusammen?
Oder habe ich etwas zum wegkürzen übersehen?
Und:
Wie berechne ich die Nullstellen der zweiten Ableitung: [mm] 3e^x-3e^{2x}=0 [/mm]
Mit dem Logarithmus Naturalis? Aber wie sieht das dann genau aus?
LG TryingHard
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Kleine Anmerkung:
Das nächste Mal wäre Dein Rechenweg auch ganz praktisch, dann kann man mal nachschauen und ggf. korrigieren
also ich hab da Folgendes:
[mm] f'''(x)=\bruch{(3e^x-6e^{2x})*(1+e^x)^3-(3e^x-3e^{2x})*3e^x*(1+e^x)^2}{(1+e^x)^6} [/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{(3e^x-6e^{2x})*(1+e^x)-(3e^x-3e^{2x})*3e^x}{(1+e^x)^4} [/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{3e^x+3e^{2x}-6e^{2x}-6e^{2x}-9e^{2x}+9e^{3x}}{(1+e^x)^4} [/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{3e^x-18e^{2x}+9e^{3x}}{(1+e^x)^4} [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Di 24.10.2006 | | Autor: | ardik |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo TryingHard,
> weiterrechne habe ich ja zwei Teile im Nenner stehen. Muss
> ich dann erst die Produktregel anwenden, also u'*v+u*v' und
> danach noch die normale Kettenregel?
Sein_kleines hat schon passend geantwortet.
Aber noch allgemein ergänzt:
In der Quotientenregel benötigt man ja die Ableitung des Zählers. Und je nachdem, wie dieser Zähler aussieht, muss man eben die entprechenden Regeln anwenden. In Deinem Beispiel ganz simpel und "normal" - da ist ja gar nichts für die Produktregel.
Wenn Du von dem anderen zuvor vorgeschlagenen Zähler $3e^x(1-3e^x}$ ausgegangen wärest, dann wäre die Produktregel fällig gewesen, um u' zu berechnen. (Mach ruhig zur Übung mal. Muss ja das gleiche Ergebnis rauskommen.)
Ja, das kann manchmal ganz schön länglich werden (aber oft lässt sich vieles wieder zusammenfassen).
> Und auch: Wie setze ich die zweite Ableitung gegen null:
> [mm]3e^x-3e^{2x}=0[/mm]
Hier nun zunächst wirklich [mm] $3e^x$ [/mm] ausklammern. Wenn Du dann noch dran denkst, dass [mm] $3e^x$ [/mm] immer größer als null ist...
Schöne Grüße,
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:16 Di 24.10.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo TryingHard,
wenn Du mehrere Zeichen in den Exponenten setzten willst, musst Du sie in geschweifte Klammern setzen:
e^{2x} [mm] $\rightarrow e^{2x}$
[/mm]
sonst passiert das:
e^2x [mm] $\rightarrow [/mm] e^2x$
selbst normale Klammern helfen nicht, sondern es wird noch kurioser:
e^(2x) [mm] $\rightarrow [/mm] e^(2x)$
nur so zur Info.
(hab's in Deiner Frage entsprechend korrigiert )
Schöne Grüße,
ardik
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