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Hallo
ich brauch dringend eure Hilfe bei dieser Aufgabe:
[mm] f(x)=0,125x^{3} [/mm] - 1,5x + 2
Nullstellen sind bei -4 und bei 2
Auf dem Graphen wandert ein Punkt A zwischen den Nullstellen. Punkt B ist die senkrechte Projektion von A auf die x-Achse. O ist der Koordinatenursprung.
Für welches x von A wird das Dreieck OAB eine maximaler Flächeninhalt?
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht damit klar dass sich die Nullstellen im 1. und 2. Quadranten befinden.
Hoffe ihr könnt mir helfen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Halli hallo!
> [mm]f(x)=0,125x^{3}[/mm] - 1,5x + 2
> Nullstellen sind bei -4 und bei 2
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> Auf dem Graphen wandert ein Punkt A zwischen den
> Nullstellen. Punkt B ist die senkrechte Projektion von A
> auf die x-Achse. O ist der Koordinatenursprung.
> Für welches x von A wird das Dreieck OAB eine maximaler
> Flächeninhalt?
>
> Ich komme bei dieser Aufgabe nicht damit klar dass sich die
> Nullstellen im 1. und 2. Quadranten befinden.
Dass die Nullstellen in den ersten beiden Quadranten liegen ist kein Problem!
Das B ist ja der zu A gehörige x-"Wert", das heißt, es gilt ja f(B)=A!
Ist dein B negativ, dann liegt das zugehörige Dreieck also im zweiten Quadranten, ist es dagegen positiv, dann liegt es im ersten.
Für die Berechnung der Fläche ist diese Tatsache allerdings irrelevant!
Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet sich zu [mm] \bruch{ab}{2} [/mm] und für unseren Fall gilt dann also:
maximiere [mm] \bruch{B*f(B)}{2}
[/mm]
Liebe Grüße
Ulrike
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hm.... dass mit das x von B und A gleich verstehe ich. Doch habe ich ja keine Koordinaten von B.
Normalerweise ist es ja so dass ich im 2. Quadranten mit Betrag von x rechnen muss. Das heißt in diesem Fall mit minus x. Im 1. Quadranten brauch ich aber ein positives x.
Deswegen bin ich unsicher. Hatte bis jetzt nur Rechnungen die nur in einem Quadranten liegen
Mfg
Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:04 Di 21.12.2004 | | Autor: | ajl |
hi,
ich erkläre es dir ganz unmathematisch, aber anschaulich.
bei extremwertaufgaben hilft oft erstmal eine skizze.
du hast einen punkt B, der auf der funktion wandert.
die strecke von dort aus senkrecht nach unten bis auf die x-achse ist ganz simpel der f(x)-wert der funktion bei einem eingesetzten x.
das dreieck soll eine maximale fläche haben.
die punkte des dreiecks sind B (also f(x) ) , A (also der entsprechende x-wert) und der ursprung.
da ja der ursprung ein punkt des dreiecks ist, befindet sich das dreieck komplett im ersten oder komplett im zweiten quadranten.
also rechnest du (wie vorher auch) nur in einem quadranten.
anhand der skizze wirst du sehen können, dass das dreieck sich im zweiten quadranten befindet.
dort ist x negativ. da du x aber als strecke auffassen sollst, musst du mit -x rechnen, damit der wert wieder positiv wird.
außerdem ist es ein rechtwinkliges dreieck, der rechte winkel ist an A.
die fläche des dreiecks ist also ( f(x) * (-x) ) / 2.
das ist eine ganzrationale funktion 4. grades.
(zur kontrolle: 1/16 [mm] x^4 [/mm] + 3/4 [mm] x^2 [/mm] -x).
diese musst du ableiten und 0 setzen, da du ja ein maximum suchst.
ich gehe davon aus, dass du dafür ein programm benutzen darfst, da die nullstelle der ableitung nicht ohne weiteres (mit schulwissen) zu bestimmen ist.
dann noch die hinreichende bedingung (2. ableitung < 0 für maximum) und das wars.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 Mo 20.12.2004 | | Autor: | dominik |
Der Punkt A habe die Koordinaten x und y = f(x). Demnach hat B die Koordinaten x und 0, da B senkrecht unter A auf der x-Achse liegt. Wie schon erwähnt, spielt es keine Rolle, ob die Punkte im ersten oder zweiten Quadranten liegen; der x-Wert passt sich mit seinem Vorzeichen einfach an.
Das Dreieck ist rechtwinklig, womit der Flächeninhalt gegeben ist durch
A(x)= [mm] \bruch{1}{2}x*f(x)=\bruch{1}{2}x*(\bruch{1}{8}x^{3}-\bruch{3}{2}x+2)=\bruch{1}{16}x^{4}-\bruch{3}{4}x^{2}+x
[/mm]
Für x>0 ist A(x)>0, für x<0 ist A(x)<0
Nun wird diese Flächenfunktion abgeleitet:
[mm] A'(x)=\bruch{1}{4}x^{3}-\bruch{3}{2}x+1
[/mm]
A'(x)=0 [mm] \gdw \bruch{1}{4}x^{3}-\bruch{3}{2}x+1=0 [/mm] / mit 4 erweitern
[mm] \gdw x^{3}-6x+4=0 [/mm]
Erste Lösung durch Probieren bestimmen; in Frage kommen [mm] \pm1, \pm2, \pm4 [/mm] (alle positiven und negativen Teiler von 4).
Probieren liefert [mm] x_{1}=2, [/mm] das heisst: B liegt zusammen mit A bei der Nullstelle 2, und das Dreieck ist zu einem Punkt zusammengeschrumpft, der Flächeninhalt ist gleich Null (Minimum).
Jetzt dividieren wir die Gleichung [mm] x^{3}-6x+4=0 [/mm] durch (x-2):
[mm] (x^{3}-6x+4=0) [/mm] : (x-2) = [mm] x^{2}+2x-2
[/mm]
Diese quadratische Gleichung wird ihrerseits gleich Null gesetzt, und es ergeben sich die beiden Werte
[mm] x_{2}=- \wurzel{3}-1\approx-2.73 [/mm] [2. Quadrant] und [mm] x_{3}= \wurzel{3}-1\approx0.73 [/mm] [1. Quadrant]
An Stelle der zweiten Ableitung [mm] A"(x)=\bruch{3}{4}x^{2}-\bruch{3}{2}, [/mm] die für [mm] x_{3} [/mm] ein Maximum gibt, aber nicht für [mm] x_{2} [/mm] (wegen des negativen Flächeninhaltes), lässt sich der Wert für den grösseren Flächeninhalt am ehesten anschaulich bestimmen:
Das Dreieck im zweiten Quadranten hat offensichtlich den grösseren Flächeninhalt als im ersten Quadranten, da der Abstand von B zum Nullpunkt und derjenige zum Punkt A grösser ist.
Der Vegleich der beiden Grössen im Funktionsgrafen führt zur
Lösung: das Dreieck hat dann einen maximalen Flächeninhalt, wenn der Punkt A den x-Wert [mm] -\wurzel{3}-1\approx4.1 [/mm] hat (und also im zweiten Quadranten liegt)
Mit vielen Grüssen aus dem sonnigen Engadin!
dominik
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