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Extremwertaufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:52 Mi 31.05.2006
Autor: Riona

Ein Rechteck soll den Flächeninhalt 10 cm² erhalten. Wie lang sind die Rechteckseiten zu wählen, damit das Rechteck minimalen Umfang hat?

Irgendwie bleibe ich stecken.

Mir ist klar: U= 2(a+b)
                  A= a . b    also   10 cm² = a . b   also  a = 10 durch b
                                                                    
Aber wie gehts jetzt weiter?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.                                                                                  
        
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Extremwertaufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:06 Mi 31.05.2006
Autor: Teufel

Du kannst a= [mm] \bruch{10}{b} [/mm] in A=a*b einsetzen, ableiten und f'(x)=0 setzen und schauen was für b rauskommt.
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Extremwertaufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:50 Mi 31.05.2006
Autor: Riona

Die Antwort hilft mir leider nicht weiter.  Deine Lösung für a oder b muss ich doch in die Umsatzformel einsetzen und nicht in die Flächenformel.

Kannst du mir den ganzen Lösungsweg aufgeben?
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Extremwertaufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:00 Mi 31.05.2006
Autor: Funky24

also die Nebenbedingung ist, wie du schon richtig erfasst hast A=a*b
und somit a=10/b

die Hauptbedingung ist U=2(a+b), in die du dann die NB einsetzt:

U(b)=2(10/b+b)
    
leitest du dann 2mal ab
U`(b)=-20/b²+2
U``(b)=40/b³

dann 1.Ableitung 0 setzen

da kommt raus b=+-Wurzel 10
(- Wurzel 10 fällt weg, da es sinnloses Ergebnis wäre)
Wurzel 10  in die 2.Ableitung -> kommt Wert größer 0 raus, also ist Wurzel aus 10 die Kleinste Möglichkeit...

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Extremwertaufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:49 Mi 31.05.2006
Autor: Riona

Ich kann leider die erste Ableitung nicht nachvollziehen.

wie kann aus U= +20/b + 2b
                    
                      U`= - 20/b² + 2 werden?????
warum ändert sich hier das Vorzeichen von + 20/b auf - 20/b ?

In der 2. Abl. wird es dann wieder positiv !

Wie ist hier die Begründung?
Bezug
                                
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Extremwertaufgaben: Quotientenregel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:57 Mi 31.05.2006
Autor: Disap

Hallo zusammen. Moin Riona, [willkommenmr]!!!

> Ich kann leider die erste Ableitung nicht nachvollziehen.

Ich gehe mal davon aus, dass U(b)=2(10/b+b) richtig ist.
Das kannst du mit Hilfe der MBQuotientenregel (aber auch mit der MBProduktregel) ableiten.
  
> wie kann aus U= +20/b + 2b

U(b)= [mm] \red{+20/b} [/mm] + [mm] \blue{2b} [/mm]

Das blaue kannst du ganz normal mit der Faktorregel ableiten, (2b) ableitet ergibt 2.

Leiten wir [mm] \br{20}{b} [/mm] ab, so ergibt sich nach der Quotientenregel

[mm] $\br{0*b-20*1}{b^2}=\br{-1*20}{b^2}=\br{-20}{b^2}$ [/mm]

> U'= - 20/b² + 2 werden?????

Setzen wir den Term jetzt wieder zusammen, ergibt sich

$U'(b) = [mm] \red{\br{-20}{b^2}}+2$ [/mm]

>  warum ändert sich hier das Vorzeichen von + 20/b auf -
> 20/b ?

[guckstduhier] MBQuotientenregel
>  
> In der 2. Abl. wird es dann wieder positiv !
>  
> Wie ist hier die Begründung?

MBQuotientenregel

Ich setze einfach mal voraus, dass man die richtig gemacht hat. Ich habe es nicht nachgeprüft.

MfG!
Disap
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Extremwertaufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:07 Mi 31.05.2006
Autor: Funky24

entweder so, wie es da steht, oder so wie ich es immer mache, weil mir das zu umständlich ist ;-)

U=20/b+2b

schreibst du um in:
U= 20*1/b +2b
  =20*b hoch -1 +2b

(da: 1/x = x hoch -1)

und das dann Ableiten:

U`= -20b hoch -2   +2     (und wieder umschreiben)
    = 20-/b²   +2
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