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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Do 13.09.2007 | | Autor: | Sara |
| Aufgabe | | Eine Parabel dritter Ordnung berührt die X-Achse im Ursprung und schneidet sie in P( 6/0) unter 45°. Welche Fläche schließt sie mit der Tangente in P ein? |
Hallo allerseits,
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter.
Meine Lösungsansätze:
Tangente m= -1
f(x)= -x +b
0=-6+b
f(x)= -x+6
So jetzt brauch ich noch die Funktionsgleichung der Parabel.
f(x)= [mm] ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
wobei ich ja schon weiß, dass d=0 ist (da es durch den Ursprung geht)
Kann mir jemand bei dem weiteren Lösungsweg helfen? Ich denke für die Berechnung der Fläche muss ich, nachdem ich die Parabelgleichung berechnet habe, die Integralrechnung anwenden.
Danke im voraus !
MfG
Sara
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> Eine Parabel dritter Ordnung berührt die X-Achse im
> ursprung und schneidet sie in P( 6/0) unter 45°. Welche
> Fläche schließt sie mit der Tangente in P ein.
> Hallo allerseits,
> Ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter.
>
> Meine Lösungsansätze:
>
> Tangente m= -1
> f(x)= -x +b
>
> 0=-6+b
>
> f(x)= -x+6
>
> So jetzt brauch ich noch die Funktionsgleichung der
> Parabel.
> f(x)= [mm]ax^3+bx^2+cx+d[/mm]
>
> wobei ich ja schon weiß, dass d=0 ist (da es durch den
> Ursprung geht)
Du weisst sogar mehr: da die Parabel $y=f(x)$ die $x$-Achse im Ursprung berührt, muss auch die erste Ableitung bei $x=0$ den Wert $0$ haben (d.h. $0$ ist Nullstelle mindestens 2. Ordnung von $f$).
Du kannst also gleich mit dem einfacheren Ansatz
[mm]f(x)=ax^3+bx^2[/mm]
beginnen. Es ist [mm] $f'(x)=3ax^2+2bx$. [/mm] Aus $f'(6)=1$ erhältst Du dann eine erste Bestimmungsgleichung für die beiden noch zu bestimmenden Formvariablen $a$ und $b$. Die zweite Bestimmungsgleichung erhältst Du daraus, dass $f(6)=0$ sein muss.
> Kann mir jemand bei dem weiteren Lösungsweg helfen? Ich
> denke für die Berechnung der Fläche muss ich, nachdem ich
> die Parabelgleichung berechnet habe, die Integralrechnung
> anwenden.
Denke ich auch. Dazu wirst Du vermutlich die Gleichung der Tangente im Punkt $P$ benötigen. Die lautet bekanntlich $t: y=f'(6)*(x-6)+f(6)$ ('Punkt-Steigungs-Form') bzw., wegen $f'(6)=1$ und $f(6)=0$, einfach $t: y=x-6$.
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