Folge unabhängiger Ereignisse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:58 So 06.11.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | [mm] (A_n), n\in\IN [/mm] sei eine Folge stochastisch unabhängiger Ereignisse (d.h. für beliebige endliche Indexmengen [mm] I\subset\IN [/mm] sind die Ereignisse [mm] A_i, i\in [/mm] I unabhängig). Zeigen Sie:
P [mm] \left(\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i\right)=\lim_{n\to\infty}\prod_{i=1}^{n}P(A_i). [/mm] |
Hallo,
Ich möchte in folgender Weise den Limes aus der Klammer rausholen. Ich glaube aber nicht, dass es so geht:
P [mm] \left(\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i\right)=P \left(\lim_{n\to\infty}\bigcap_{i=1}^{n}A_i\right)\red{=}\lim_{n\to\infty}P \left(\bigcap_{i=1}^{n}A_i\right)=\lim_{n\to\infty}\prod_{i=1}^{n}P(A_i).
[/mm]
Wie könnte ich den Schritt, wo ich den Limes aus der Klammer geholt habe begründen? Oder sollte ich es anders machen.
Kann mir bitte jemand helfen? Danke!
Gruß,
pyw
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 So 06.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo pyw,
> Ich möchte in folgender Weise den Limes aus der Klammer
> rausholen. Ich glaube aber nicht, dass es so geht:
>
> P [mm]\left(\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i\right)=P \left(\lim_{n\to\infty}\bigcap_{i=1}^{n}A_i\right)\red{=}\lim_{n\to\infty}P \left(\bigcap_{i=1}^{n}A_i\right)=\lim_{n\to\infty}\prod_{i=1}^{n}P(A_i).[/mm]
>
> Wie könnte ich den Schritt, wo ich den Limes aus der
> Klammer geholt habe begründen? Oder sollte ich es anders
> machen.
Die Begründung für diesen Schritt liefert die Stetigkeit nach unten (manchmal auch Stetigkeit von oben genannt) des Wahrscheinlichkeitsmaßes $P$. Sagt dir dieser Begriff etwas?
Die Folge [mm] $(\bigcap_{i=1}^nA_i)_{n\in\IN}$ [/mm] ist absteigend mit "Limes" [mm] $\bigcap_{n\in\IN}\bigcap_{i=1}^nA_i=\bigcap_{i=1}^\infty A_i$. [/mm] Also ist auch [mm] (P(\bigcap_{i=1}^nA_i))_{n\in\IN} [/mm] absteigend mit Limes [mm] $P(\bigcap_{i=1}^\infty A_i)$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 So 06.11.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo Tobias,
> Die Begründung für diesen Schritt liefert die Stetigkeit
> nach unten (manchmal auch Stetigkeit von oben genannt) des
> Wahrscheinlichkeitsmaßes [mm]P[/mm]. Sagt dir dieser Begriff etwas?
Schade, dass ich da nicht selbst drauf gekommen bin: In der vorigen Aufgabe sollte ich gerade die Stetigkeit von oben des Maßes P beweisen.
Trotzdem vielen Dank, du hast mir sehr geholfen!
Gruß
|
|
|
|
