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| Aufgabe | B [mm] \subseteq \IR^{n}
[/mm]
Zeig: B kompakt [mm] \gdw [/mm] B folgenkompakt
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Hi zusammen!
Ich habe folgende Aufgabe zu lösen und finde einfach keinen wirklichen Einstieg in die Aufgabe.. :s
Nun wenn B kompakt ist [mm] \gdw [/mm] B abgeschlossen und beschränkt..
Nun wie gesagt bin ich jetzt etwas überfordert, in welche Richtung ich weiter gehen sollte..
Wäre sehr froh um Tipps!! Vielen lieben Dank
Ersti
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KLassische Aufgabe zur Topologie im [mm] $\IR^n$.
[/mm]
Benutze fuer die Hinrichtung die Ueberdeckungseigenschaft von Borel. Nimm eine (spezielle) Ueberdeckung [mm] $\bigcup U_i$ [/mm] von Bund eine Folge [mm] $x_n$ [/mm] in $B$. Dann gibt es eine offene Menge [mm] $U_i$ [/mm] wo unendlich viele Folgeglieder der Folge [mm] $x_n$ [/mm] liegen. Gehe ueber zu [mm] $\overline{U}_i\cap [/mm] B$. Was ist das fuer eine Menge?! Wieder (spezielle) offene Ueberdeckung waehlen und wieder argumentieren wie oben. Was laesst sich dabei ueber eine so extrahierte Teilfoge von [mm] $x_n$ [/mm] sagen? Konvergiert sie? (Das sollte sie, wenn B folgenkompakt sein soll).
Fuer die Rueckrichtung waehlst du induktiv eine Folge [mm] $x_n \in [/mm] B$ mit der Eigenschaft, dass kein Folgeglied einen Nachbarn (anderes Folgeglied) hat, dass naeher als [mm] $\epsilon$ [/mm] ist. Um jedes Folgeglied legst du einen [mm] $\epsilon$-Ball [/mm] und bildest die vereinigung. Unter der Gegenannahme, dass $B$ nicht ueberdeckungskompakt ist, fuehrst du mit der Folge [mm] $x_n$ [/mm] das zu einem Widerspruch.
Viel Erfolg beim Aufschreiben, Kornfeld
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