Funktionen für Summenformeln < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Di 07.06.2005 | | Autor: | Leif |
Hallo!
Könnte mir hier vielleicht jemand explizite Funktionen für diese beiden Funktionen liefern (mit Beweisen), bitte:
1) f(n) = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2} [/mm] * n * (n + 1)
2) f(n) = [mm] \summe_{i=1}^{n} n^{2}
[/mm]
Die erste Fuktion wäre also:
f(1) = 1
f(2) = 4
f(3) = 10
f(4) = 20
f(5) = 35
...
Die zweite Funktion:
f(1) = 1
f(2) = 5
f(3) = 14
f(4) = 30
f(5) = 55
...
Danke Schonmal!
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Hi, Leif,
> Könnte mir hier vielleicht jemand explizite Funktionen für
> diese beiden Funktionen liefern (mit Beweisen), bitte:
"Liefern" tun wir hier nix! Das macht der Milchmann oder die Zeitungsfrau!
Wir helfen, wenn's mathematische Probleme gibt, erwarten aber zunächst eigene Ansätze zu deren Lösung!
> 1) f(n) = [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2}[/mm] * n * (n + 1)
> 2) f(n) = [mm]\summe_{i=1}^{n} n^{2}[/mm]
Du meinst natürlich:
1) f(n) = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2}* [/mm] i * (i + 1)
und
2) f(n) = [mm] \summe_{i=1}^{n} i^{2}
[/mm]
Für die 2. Aufgabe geb' ich Dir mal'n Tipp:
[mm] \summe_{i=1}^{n} i^{2} [/mm] = [mm] \bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}
[/mm]
(Potenzsummen!)
Beweisen kann man das mit vollst. Induktion!
Ausprobieren!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Di 07.06.2005 | | Autor: | Leif |
Oh, tut mir unglaublich Leid!!!
Ich hätte die Fragen aber nicht hier gestellt, wenn ich mich vorher nicht damit beschäftigt hätte. Mit dem Summensymbol arbeite ich nur ziemlich selten und hab deshalb n und i verwechselt. Außerdem habe ich keinen Ansatz von dem ich glaube, dass er es Wert wäre ihn irgendwie weiterzuführen.
Da ich auch kein Professor der Mathematik bin, sondern nur ein Schüler der zehnten Klasse, ist mir der Begriff der vollständigen Induktion nicht vertraut und ich sehe auch keinen ersichtlichen Weg, welcher zu der Formel für die Potenzsummen geführt haben kann.
Kann mir jetzt vielleicht jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 Di 07.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Viper
Dein Ton ist irgendwie arrogant! "Da ich auch kein Professor der Mathematik bin, sondern nur ein Schüler der zehnten Klasse," und "Kann mir jetzt vielleicht jemand helfen?" hört sich irgendwie so an, als wären wir sehr böse Menschen, wnn wir nicht hülfen! normale Briefe haben ne Begrüßung am Anfang und ein nettes Ende!
Aber dazu müste man schon wissen, was du an Beweismöglichkeiten kennst, woher die Aufgabe stammt, zu was du das Ergebnis brauchst. Ne Hausaufgabe kanns ja wohl nicht sein, das wär so zu schwer für 10. Klasse.
Also sag mal mehr und dann findet sich vielleicht jemand, der ne antwort weiss. Hast du schon mal irgendeine Aufgabe dieser Art gelöst? und wenn wie?
Gruss leduart
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Hallo Leif
vielleicht erkennst Du im Summanden der 1ten Aufgabe
eien Binomialkoeffizienten und Löst die Aurgabe über die
Summenformel für diese.
Sodan ist Die 1te Summe aber auch die halbe der 2tten
plus der Hälfte jener für die schon der "kleine Gauss" die Formel
fand weil er nicht 99 Additioen machen wollte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Di 07.06.2005 | | Autor: | Leif |
Ja, mit dieser Summenformel finde ich das ziemlich kompliziert; Ich hab es bis her noch nicht geschafft, das in eine Formel zu bringen. Lässt sich die Summe der ersten n Summenzahlen (1+2+...+n) denn auch mit der Summenformel berechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Di 07.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast nicht gesagt, ob das ne Hausaufgabe ist, oder was du machen sollst. Das Summenzeichen ist nur Gewöhnungssache, man kann es immer durch Pünktchen ersetzten also:
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i = 1+2+3+.....+n
oder [mm] \summe_{i=1}^{100}=1+2+......+100 [/mm] Weisst du was da die Summenformel ist?
> Ja, mit dieser Summenformel finde ich das ziemlich
> kompliziert; Ich hab es bis her noch nicht geschafft, das
> in eine Formel zu bringen. Lässt sich die Summe der ersten
> n Summenzahlen (1+2+...+n) denn auch mit der Summenformel
> berechnen?
mit einer Summenformel ja, ich dachte vielleicht kennst du die. Und noch mal, was für Arten von Beweisen kennst du? Hast du irgend ein Beispiel aus der Schule?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Di 07.06.2005 | | Autor: | Leif |
die normale summenformel kenne ich: ( 1 / 2 ) * n * ( n + 1 )
aber damit kann man doch bloß die ersten n zahlen errechnen und nicht die ersten n zahlen irgendeiner funktion.
Beweise... ich bin echt nicht erfahren auf dem Gebiet...
Induktion, ja mal gehört aber für mich is etwas ein Beweis wenn ich etwas wahres zu etwas anderem umformen kann. dann muss dieses andere auch wahr sein.
Die aufgabe ist übrigens aus eigenen Überlegen nach einer Stunde in ner Mathe-AG entstanden. Mit Der Anzahl von Streichhölzern in einem Muster...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Di 07.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> die normale summenformel kenne ich: ( 1 / 2 ) * n * ( n + 1
> )
> aber damit kann man doch bloß die ersten n zahlen
> errechnen und nicht die ersten n zahlen irgendeiner
> funktion.
Da hast du natürlich recht, man kann nur die Summe der ersten Zehn Zahlen errechnen. Aber dafür ist die Formel doch recht nützlich, oder wolltest du zu Fuss die Zahlen von 1 bis 100000 zusammenzählen?
Mit einer "Summenformel beschreibt man keine Funktionen, sondern eben Summen. Natürlich kann man manche "Funktionen auch als Summen schreiben, aber dafür gibts dann keine Summenformel.
Wenn man ne Summenformel für z. Bsp [mm] \summe_{i=1}^{n}i^{2} [/mm] sucht, muss man rumraten und versuchen, ob man durch Zeichnen von Quadraten oder geschicktes Zusammenfassen etwas findet. Und wenn man dann was gefunden hat muss man ein Argument suchen um es zu beweisen. Ein verbreitetes argument ist: wenn etwas für n=1 richtig ist, und ich glaub mal dass es für irgendein n richtig ist, dann zeig ich dass es dann auch für die nächste Zahl, also n+1 richtig ist. WENN ich das zeigen kann, dann hab ich ja gezeigt, :wenn es für 1 richtig ist, dann auch für 2, weils für 2 richtig ist auch für 3 usw. usw.
Das ganze heisst dann volständige Induktion: Beispiel 1+2+...+n [mm] =\bruch{1}{2}*n(n+1)
[/mm]
1. ist richtig für n=1 denn [mm] \bruch{1}{2}*1*2=1
[/mm]
2. ich nehm an es ist richtig für n also [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i = [mm] \bruch{1}{2}*n*(n+1)
[/mm]
3. ich behaupte es ist deshalb auch [mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] i = [mm] \bruch{1}{2}*(n+1)*(n+2)
[/mm]
nachweis: [mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] i [mm] =\summe_{i=1}^{n} [/mm] i +(n+1) = [mm] \bruch{1}{2}*n*(n+1) [/mm] + n+1
= [mm] \bruch{n(n+1)+2n+2}{2}= \bruch{n^{2}+3n+2}{2}=\bruch{(n+1)(n+2)}{2}
[/mm]
jetzt noch mal wenn es für irgend ein n richtig ist dann ist es auch für n+1 richtig. da es für 1 richtig ist auch für 2,3,4 usw.
> Beweise... ich bin echt nicht erfahren auf dem Gebiet...
> Induktion, ja mal gehört aber für mich is etwas ein Beweis
> wenn ich etwas wahres zu etwas anderem umformen kann. dann
> muss dieses andere auch wahr sein.
Das sind zwar auch Beweise, aber doch eher selten muss man nur was umformen. zwischendrin in einem Beweis kommen aber oft wahre Umformungen vor.
Eigentlich ist ein Beweis, wenn man logische argumente aneinander reiht, die niemand bestreitet. Eine der Möglichkeiten ist das Umformen von Gleichungen. Die "Induktion ist ein anderer Weg, weil da noch ein Wenn dann drin steht.
So nun zum Schluss: für deine Summen gibts nur die Methode des rumratens mit was Geschick, dann beweist man mit Induktion.
Es gibt nur eine bekannte Summe nämlich [mm] \summe_{i=1}^{n} a^{i} [/mm] die man ohne Induktion ausrechnen kann.
Ich hoff, du hast irgendwas davon kapiert. Sonst frag nach, oder redet in eurer AG drüber!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:23 Di 07.06.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo leduart,
> Wenn man ne Summenformel für z. Bsp [mm]\summe_{i=1}^{n}i^{2}[/mm]
> sucht, muss man rumraten und versuchen, ob man durch
> Zeichnen von Quadraten oder geschicktes Zusammenfassen
> etwas findet.
Ich meine, daß man für diese speziellen Summenformeln gar nicht soviel "rumraten" muß. Wenn man sich das Herleitungsprinzip mittels Polynominterpolation hinter der ersten Formel für [mm] $i\!$ [/mm] anschaut, kann man die anderen Formeln nach dem gleichen Schema gewinnen.
Viele Grüße
Karl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:28 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Leif> Hallo!
>
> Könnte mir hier vielleicht jemand explizite Funktionen für
> diese beiden Funktionen liefern (mit Beweisen), bitte:
> 1) f(n) = [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2}[/mm] * n * (n + 1)
> 2) f(n) = [mm]\summe_{i=1}^{n} n^{2}[/mm]
>
> Die erste Fuktion wäre also:
> f(1) = 1
> f(2) = 4
> f(3) = 10
> f(4) = 20
> f(5) = 35
> ...
Eine Möglichkeit, eventuell an eine Formel zu kommen, ist die Folgende.
Du überlegst dir, in welcher Potenz das n bei der Lösung vorkommen kann. Der Vergleich mit der 2. Aufgabe, deren Formel du ja schon hast, deutet an, dass [mm] n^3 [/mm] vorkommen wird. Also machst du folgenden Versuch. Du setzt in die Formel
[mm] f(n) = a \cdot n^3 + b\cdot n^2 + c \cdot n + d [/mm]
nacheinander die Werte für die ersten 4 Ergebnisse ein, also
[mm] 1 = a + b+ c + d [/mm]
[mm] 4 = 8 a + 4 b + 2 c + d [/mm]
[mm] 10 = 27 a + 9 b + 3 c + d [/mm]
[mm] 20 = 64 + 16 b + 4 c + d [/mm]
Dieses Gleichungssystem löst du nun und bekommst eine mögliche Lösung. Diese musst du nun aber mit weiteren Werten für n überprüfen.
Dieses Verfahren beweist dir allerdings nicht die Richtigkeit der Formel, das geht wirklich nur durch vollständige Induktion. Aber es erspart dir möglicherweise ein langes Ausprobieren.
Gruß
Sigrid
>
> Die zweite Funktion:
> f(1) = 1
> f(2) = 5
> f(3) = 14
> f(4) = 30
> f(5) = 55
> ...
>
> Danke Schonmal!
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