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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:08 Mi 07.06.2006 | | Autor: | Sara |
Guten Abend an alle,
ich habe Probleme bei der Bestimmung folgender Funktion:
f(x)= [mm] x^4 [/mm] + ax² +bx (mit [mm] x^4 [/mm] ist "x hoch 4 gemeint")
Ich muss a und b so bestimmen, dass f an der Stelle 1 einen Sattelpunkt hat.
Desweiteren muss ich herausfinden für welche Parameter a und b der Graf von f keinen Wendepunkt hat.
Ich hoffe, dass mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen kann.
Ich brauch das bis morgen.
Danke im voraus,
Sara
Ps:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:47 Mi 07.06.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo Sara!
Okay, zuerst berechnen wir die ersten beiden Ableitungen von f(x) ...
[mm] f(x)=x^{4}+a*x^{2}+b*x
[/mm]
[mm] f'(x)=4*x^{3}+2*a*x+b
[/mm]
[mm] f''(x)=12*x^{2}+2*a
[/mm]
Gefordert ist nun ein Sattelpunkt bei x=1. Von einem Sattelpunkt wissen wir, dass es ein Wendepunkt ist, an dem die Steigung von f Null ist! Also ein besonderer Wendepunkt!
D.h. wir müssen zuerst fordern:
f''(1)=0,
woraus wir a berechnen können.
Mit diesem a und der Forderung
f'(1)=0
können wir nun auch noch b berechnen.
(Zur Kontrolle: a=-6, b=8).
Soweit, so gut!
Nun ist noch gefordert, a und b so zu bestimmen, dass f keinen Wendepunkt mehr hat!
Allgemein lassen sich Wendpunkte ja berechnen über
f''(x)=0.
Hieraus folgt: x= [mm] \pm\bruch{\wurzel{-6*a}}{6} [/mm] als allgemeine Wendestelle für beliebige a. Und hieraus können wir ablesen: Ist a eine positive reelle Zahl, so ergibt sich insgesamt ein negativer Radikant! Ist dies der Fall, ex. die Wurzel nicht in den reellen Zahlen und wir haben keine Wendestelle!
Für negative a wird der Radikant positiv, d.h. es existiert min. eine Wendestelle.
Wir folgern: Für alle a<0 (a darf auch nicht 0 sein (eine kurze Überlegung wert!)) hat f keine Wendestelle! b kann in diesem Fall beliebig sein, da die Wendestellen nicht von b abhängen!
Ich hoffe das ist ein bißchen klar geworden!
Vlg, Kübi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:27 So 11.06.2006 | | Autor: | Sara |
Guten Tag Kübi,
zunächst einmal danke ich dir herzlich für deine effiziente Hilfe.
Du hast geschrieben a<0 hat keine Wendestelle.
Aber ich bin der Ansicht, dass a>0 keine Wendestelle hat.
Beispielsweise setzt man für a die 1 ein (1>0, also positiv) :
1/-6 = -1/6 (von negativen Zahlen kann man keine Wurzel ziehen. Dementsprechend würde ich sagen, dass a>0 keine Wendestelle hat)
Setzt man für a -1 ein:
-1/-6 = 1/6 (von dieser Zahl kann man die Wurzel ziehe) Dementsprechend hat a<0 eine Wendestelle)
schönen Tag noch,
Sara
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